Chapitre 6 • Séries entières
'
Formule fondamentale de l'exponentielle.
'j La série-produit L Wn est définie, pour
\Jn ~O
......,
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• •
396
toutn E N, par:
n l z"'-k
Wn = L kl (n - k) ,.
k=O .
.
Il s'agit du produit de deux séries
numériques et non pas du produit de
deux séries entières à cause de la
présence des deux variables z.z' .
Bien noter la présence de la partie réelle
de z .
2) Propriétés algébriques
Preuve
n
tn
Soit (z,z') E IC 2 . Les séries numériques '°"' :..__ et '°"'~ sont absolument convergentes.
~n' ~n'
n ~ O
· n ~O ·
)
D'après 4.4.2 3) Théorème, leur série produit Lw, , est absolument convergente et a pour somme ezez' .
n ~O
Mais, d'autre part :
n zk z"• -k
1 Il
k
1
'°"'
= - '°"' C. l z"•-k = - (z + z')n .
Wn={:Qk!(n-k)!
n!{:o n
n!
"ln EN,
+oo
On a donc L w,, = e z+z' et finalement : ezez' = ez+z' .
n=O
Corollaire 1
N
N
L Zk
1) V N E N*, Vz 1 , ... ,ZN E k=l
2) Vz E iC,
Remarque: Nous ne définissons pas ici de manière générale (ez)Z' lorsque (z,z') E )
Preuve
_
+oo Zn +oo ( Zn ) +oo (z)" _
D'après 4.1.2 Corollaire : ez = L - = L - = L -- = ez.
n=O n!
n=O n!
n=O n!
•
)
•
~ __ a_,_·_'·_'·_*_'_"_'·_1_ . •
_:.1111_~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~]
l_
V z E C, lez 1 = eRé(z).
.
Preuve
On a: le 'l 2 = e ' e ' = e ' e z = e z+z = e 2Ré(zl = (eRé(zl )2,
d'où la relation voulue, puisque lez 1 > 0 et eRé(z) > O.
•
V z E C,
J