-0
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
.!::
O'l
·;::::
>0.
0
u
392
Chapitre 6 • Séries entières
• Pour montrer qu'un développement en série entière/(x) = L a 11 l
1
, valable pour x E] - R ; R[, est encore
11 ;,:0
valable en R (ex. 6.5.19), essayer de montrer que la série d' applications L:
) converge uniformén;;;:o
ment (normalement ?) sur [0; R] , puis appliquer le théorème sur convergence uniforme et continuité. Cf. aussi ex.
6.5.20.
• Pour étudier le comportement de la somme d'une série entière de rayon R aux points - R et R, on peut
essayer d' appliquer les résultats des exercices 6.1.14 et 6.1.15 p. 396 (ex. 6.5.21 à 6.5 .24).
• Penser à utiliser des théorèmes permettant de permuter Jet L (ex. 6.5.26, 6.5 .27, 6.5.30, 6.5.33) ou L et L
(ex. 6.5.28, 6.5.29, 6.5.32, 6.5.34). On pourra être amené à montrer que l'intégrale du reste tend vers 0, en particul ier lorsqu'interviennent des intégrales impropres (ex. 6.5.3 l).
6.5.7 Calculer le rayon de convergence R et la somme S
des séries entières suivantes ( z : variable complexe ;
x : variable réelle) :
a) L:n
3 z"
11 ;,:0
b) L (- l)"n2 z2n - I
n;;;: I
"n
2
- n + 4 11
c) .f._.,
X
0
n + 1
n;;;:
d) L (n + ~) x2n
n;;;: I
x"
e) L 2n - l
n;;;: 1
x3n+ I
J) 2= 3n + 1
n;;;:O
x 4n+3
g) 2= 4n + 3
n;;;:O
x 2n
h) L ~
n;,:2 n
x"
"JL: - -
l n;;;: I n(n+3)
j ) "
4n + l x"
.f._., 2n2 + n - 1
n;;;: I
k) '°' (-1)
11
x"
.f._., n(n - 1)
n;,:2
l) L
(-1 )"
x2n+ l
n;;;: I (2n + l ) (2n - 1)
x"
m) L - n -
(n- -- 1 ) -(- n -- -2-)
n;,:3
n) L (3 + (- I )" )nzn
n ;;;:O
o) L(n2 - n - 3)3"-l z2n
n;;;:O
2<- l l" xn
pJL:-n;;;: l
n
3
L
n + l 11
q)
- -x
n'
n;;;:O
.
x"
r) L (2n)!
n;;;:O
s) L cos ne x" et L sin ne x" ' e E IR
n ;;;:O
n ;;;:O
"cos ne .n " sin ne n
t) .L_., - -x et .L_., - - x , e E IR
n;;;: I n
n;;;: I n
(Utiliser l'exercice 6.5.7 s) )
u) L: cos 2 n x"
n;;;:O
(Utiliser l'exercice 6.5.7 s))
v) L:nshn x
11
n ;;;:O
w) z=a,,z",
n;;;:O
où
12"
a,,= 0
3"
si n = 0(3)
si n = 1(3).
si n = 2[3]
6.5.8 Pour les fonctions f des exemples suivants où l'on
donne f (x) (x : variable réelle), montrer que f est dSE(O)
et calculer son DSE(O) ; préciser le rayon de convergence R .
x 2 - x + 2
a) ----,------,,---x 4 - 5x 2 +4
b) (1 +x +x2 + x 3 )-3
xshe
c) 2
,
e E IR
x - 2xch e + 1
1
d)
e E IR
x 2 - 2xcos e + l '
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
.!::
O'l
·;::::
>0.
0
u
392
Chapitre 6 • Séries entières
• Pour montrer qu'un développement en série entière/(x) = L a 11 l
1
, valable pour x E] - R ; R[, est encore
11 ;,:0
valable en R (ex. 6.5.19), essayer de montrer que la série d' applications L:
) converge uniformén;;;:o
ment (normalement ?) sur [0; R] , puis appliquer le théorème sur convergence uniforme et continuité. Cf. aussi ex.
6.5.20.
• Pour étudier le comportement de la somme d'une série entière de rayon R aux points - R et R, on peut
essayer d' appliquer les résultats des exercices 6.1.14 et 6.1.15 p. 396 (ex. 6.5.21 à 6.5 .24).
• Penser à utiliser des théorèmes permettant de permuter Jet L (ex. 6.5.26, 6.5 .27, 6.5.30, 6.5.33) ou L et L
(ex. 6.5.28, 6.5.29, 6.5.32, 6.5.34). On pourra être amené à montrer que l'intégrale du reste tend vers 0, en particul ier lorsqu'interviennent des intégrales impropres (ex. 6.5.3 l).
6.5.7 Calculer le rayon de convergence R et la somme S
des séries entières suivantes ( z : variable complexe ;
x : variable réelle) :
a) L:n
3 z"
11 ;,:0
b) L (- l)"n2 z2n - I
n;;;: I
"n
2
- n + 4 11
c) .f._.,
X
0
n + 1
n;;;:
d) L (n + ~) x2n
n;;;: I
x"
e) L 2n - l
n;;;: 1
x3n+ I
J) 2= 3n + 1
n;;;:O
x 4n+3
g) 2= 4n + 3
n;;;:O
x 2n
h) L ~
n;,:2 n
x"
"JL: - -
l n;;;: I n(n+3)
j ) "
4n + l x"
.f._., 2n2 + n - 1
n;;;: I
k) '°' (-1)
11
x"
.f._., n(n - 1)
n;,:2
l) L
(-1 )"
x2n+ l
n;;;: I (2n + l ) (2n - 1)
x"
m) L - n -
(n- -- 1 ) -(- n -- -2-)
n;,:3
n) L (3 + (- I )" )nzn
n ;;;:O
o) L(n2 - n - 3)3"-l z2n
n;;;:O
2<- l l" xn
pJL:-n;;;: l
n
3
L
n + l 11
q)
- -x
n'
n;;;:O
.
x"
r) L (2n)!
n;;;:O
s) L cos ne x" et L sin ne x" ' e E IR
n ;;;:O
n ;;;:O
"cos ne .n " sin ne n
t) .L_., - -x et .L_., - - x , e E IR
n;;;: I n
n;;;: I n
(Utiliser l'exercice 6.5.7 s) )
u) L: cos 2 n x"
n;;;:O
(Utiliser l'exercice 6.5.7 s))
v) L:nshn x
11
n ;;;:O
w) z=a,,z",
n;;;:O
où
12"
a,,= 0
3"
si n = 0(3)
si n = 1(3).
si n = 2[3]
6.5.8 Pour les fonctions f des exemples suivants où l'on
donne f (x) (x : variable réelle), montrer que f est dSE(O)
et calculer son DSE(O) ; préciser le rayon de convergence R .
x 2 - x + 2
a) ----,------,,---x 4 - 5x 2 +4
b) (1 +x +x2 + x 3 )-3
xshe
c) 2
,
e E IR
x - 2xch e + 1
1
d)
e E IR
x 2 - 2xcos e + l '