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6.5 • Développements en série entière
Si on est amené à calculer « à part » S (0) , ne pas oublier que, tout simplement, S (0) = ao, lorsque
+oo
S(x) = L anxn.
n=O
• Pour montrer qu'une fonction donnée f est dSE(O) et calculer le DSE(O) de f, on essaiera de se ramener aux
DSE(O) connus, par les opérations suivantes :
- combinaison linéaire d' un nombre fini de fonctions dSE(O)
- produit de deux fonctions dSE(O)
- dérivation, prirnitivation d' une fonction dSE(O)
- utilisation d'une équation différentielle.
On privilégiera l'aspect additif sur le point de vue multiplicatif. Par exemple, pour obtenir le DSE(O) d'une fonction rationnelle n' ayant pas 0 pour pôle (ex. 6.5.8 a), c), d)), on envisagera d'utiliser une décomposition en éléments simples. De même, on n'oubliera pas les linéarisations de fonctions trigonométriques (ex. 6.5.8 m), à o)).
Dans certains cas particuliers, on commencera par transformer l'écriture de la fonction (ex. 6.5.8 b)).
Si f se présente comme produit de deux fonctions dSE(O) (ex. 6.5.8 r)), d'après le cours/ est dSE(O); mais,
pour le calcul du DSE(O) def, on envisagera souvent un autre point de vue, car la valeur des cœfficients du DSE(O)
de f obtenue par produit de DSE (0) est souvent inutilisable ou inappropriée.
Si f peut être présentée sous forme de produit d'un polynôme par une fonction dSE(O), le DSE(O) de f sera facilement obtenu (ex. 6.5.8 e), f)) .
Il se peut que la dérivée!' de f soit plus « simple » que f, auquel cas on formera le DSE(O) de!', puis on déduira celui de/ (ex. 6.5.8 l), p), q)). C'est en particulier, le cas lorsquef(x) est une intégrale dépendant d'une de ses
bornes (ex. 6.5.8 u) à w)), ou lorsque/ est un logarithme, un Arcsin, ...
Plus généralement, on peut essayer de montrer que f satisfait une équation différentielle, souvent linéaire et à coefficients polynomiaux, et utiliser la méthode dite« de l' équation différentielle», cf.§ 6.5.3 3) p. 382 (cf. aussi plus
loin la rubrique « Les méthodes à retenir» p. 488) (ex. 6.5 .8 r), s), x)).
Pour obtenir le DSE(O) d'une intégrale dépendant d'un paramètre, développer à l' aide d' une série entière
dans l' intégrale, puis montrer qu' on peut permuter f et L (ex. 6.5.8 y), z), a')).
• Certaines sommes de séries peuvent être calculées par l'intermédiaire de séries entières (ex. 6.5 .9). Pour calculer
+oo
•
•
L un (après avoir montré la convergence), on introduit, par exemple, la série entière L Un Zn, on détermine son
n=O
n ;;,O
+oo
rayon R, et sa somme S. Si R > 1, alors L un= S(l) (ex. 6.5.9 a), d)). Si R = 1, on essaiera de montrer que la
n=O
série de fonctions L (x 1-----+ unxn) converge uniformément (normalement ?) sur [0; 1], ce qui permettra de déduin ;;,o
+oo
re : L Un = lim S(x) (ex. 6.5.9 b), c), e)).
n=O
X-+ 1Il peut être commode de commencer par transformer le terme général de la série numérique de l'énoncé avant d'introduire une série entière (ex. 6.5.9 f)).
Pour montrer qu'une fonction f est de classe C
00 , il suffit de montrer qu'elle est développable en série entière ;
y penser en particulier lorsque f est donnée par deux expressions selon la position de x (ex. 6.5.10).
Comme on l'a vu dans la rubrique « Les méthodes à retenir » p. 334, pour établir une égalité entre intégrale et
série, on peut essayer d'écrire la fonction située dans l'intégrale comme somme d' une série de fonctions, puis justifier la permutation entre intégrale et série. A cet effet, on utilisera souvent des séries entières (ex. 6.5.17, 6.5.18).
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• Pour montrer qu'une fonction donnée f est dSE(O) et calculer le DSE(O) de f, on essaiera de se ramener aux
DSE(O) connus, par les opérations suivantes :
- combinaison linéaire d' un nombre fini de fonctions dSE(O)
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- dérivation, prirnitivation d' une fonction dSE(O)
- utilisation d'une équation différentielle.
On privilégiera l'aspect additif sur le point de vue multiplicatif. Par exemple, pour obtenir le DSE(O) d'une fonction rationnelle n' ayant pas 0 pour pôle (ex. 6.5.8 a), c), d)), on envisagera d'utiliser une décomposition en éléments simples. De même, on n'oubliera pas les linéarisations de fonctions trigonométriques (ex. 6.5.8 m), à o)).
Dans certains cas particuliers, on commencera par transformer l'écriture de la fonction (ex. 6.5.8 b)).
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Plus généralement, on peut essayer de montrer que f satisfait une équation différentielle, souvent linéaire et à coefficients polynomiaux, et utiliser la méthode dite« de l' équation différentielle», cf.§ 6.5.3 3) p. 382 (cf. aussi plus
loin la rubrique « Les méthodes à retenir» p. 488) (ex. 6.5 .8 r), s), x)).
Pour obtenir le DSE(O) d'une intégrale dépendant d'un paramètre, développer à l' aide d' une série entière
dans l' intégrale, puis montrer qu' on peut permuter f et L (ex. 6.5.8 y), z), a')).
• Certaines sommes de séries peuvent être calculées par l'intermédiaire de séries entières (ex. 6.5 .9). Pour calculer
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L un (après avoir montré la convergence), on introduit, par exemple, la série entière L Un Zn, on détermine son
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re : L Un = lim S(x) (ex. 6.5.9 b), c), e)).
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X-+ 1Il peut être commode de commencer par transformer le terme général de la série numérique de l'énoncé avant d'introduire une série entière (ex. 6.5.9 f)).
Pour montrer qu'une fonction f est de classe C
00 , il suffit de montrer qu'elle est développable en série entière ;
y penser en particulier lorsque f est donnée par deux expressions selon la position de x (ex. 6.5.10).
Comme on l'a vu dans la rubrique « Les méthodes à retenir » p. 334, pour établir une égalité entre intégrale et
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