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0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- o.
0
u
390
Chapitre 6 • Séries entières
Solution
Si x i= 0, alors u 11 > 0 et :
U11+1
(n + l)! lx l 2 "+
3
2(2n + l ) !
= - - - - -
U 11
2(2n + 3) !
n!lx l 211 + 1
(n + l )x 2
-----+ O.
(2n + 2) (2n + 3) 1100
D'après la règle de d'Alembert pour les séries numériques, la série Lu,, converge.
11~0
D'autre part, l'étude du cas x = 0 est triviale.
r oo
Ceci montre que la série L J
0
1f,,1 converge.
11;:.o o
D'après le théorème du Cours sur série d'applications et intégration sur un interval1
+00 +oo
le quelconque, on peut permuter
et L• d'où, pour tout x E IR :
0
n=O
+oo 1 +00 ( l)"
f (x ) = L
- x 211+ 1 t 211+1 e _,2 dt
n=O o
(2n + 1)!
+oo (-l)"x 211+1
+oo (-l)"x211+ 1 n!
= ~ (2n + l)!
1
" = ~ (2n + l)! 2 ·
Puisque cette série converge en tout x E IR, le rayon de cette série entière est infini .
Finalement :
+oo (-l)"n! '
'v' x E IR f(x) = '°'
x -
11 +
1
•
' ·
;2o 2(2n + 1) !
Les méthodes à retenir
Développements en série entière
Conseils
r+oo
2
L'intégrale / 11 = f o 1 211 + 1 e1 dt a été
calculée plus haut.
• Pour déterminer le rayon de convergence R d'une série entière I:C1 11 .z'
1
, voir la rubrique «Les méthodes à
•
n ? O
retenir» p. 364. Dans la plupart des exemples où l' énoncé demande le rayon et la somme d' une série entière, la
détermination du rayon est aisée. En effet, le cœfficient a 11 est souvent une fraction rationnelle en n autre que la
fraction nulle, et alors le rayon est 1, ou bien a 11 fait intervenir simplement des exponentielles ou des factorielles
et alors le rayon peut être souvent calculé par application de la règle de d' Alembert.
Ayant déterminé le rayon R d'une série entière L a 11 z
11
, pour calculer sa somme, lorsque x E] - R; R[ (ou
n ;;.O
lxl < R), on essaiera de se ramener aux séries entières connues (tableau p. 385, à bien connaître), en utilisant
notamment les techniques suivantes :
- dérivation ou prirnitivation, éventuellement répétées, d'une série entière (ex. 6.5.7 a), b),j))
- décomposition de a 11 en éléments simples lorsque a 11 est une fraction rationnelle en n (ex. 6.5.7 c), h) àj))
- changement de variable, du genre t = Jx ou t = Fx, lorsque l'énoncé comporte x
11 et qu' on préfèrerait y
voir un élément du genre t
211 (ex. 6.5.7 e), r))
- combinaison linéaire de séries entières connues (ex. 6.5.7 g), s), u)). En particulier, si a 11 est un polynôme en
cos ne et sin ne, on essaiera de faire intervenir l' exponentielle complexe (ex. 6.5.7 u)).
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Chapitre 6 • Séries entières
Solution
Si x i= 0, alors u 11 > 0 et :
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(2n + 2) (2n + 3) 1100
D'après la règle de d'Alembert pour les séries numériques, la série Lu,, converge.
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D'autre part, l'étude du cas x = 0 est triviale.
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Ceci montre que la série L J
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1f,,1 converge.
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D'après le théorème du Cours sur série d'applications et intégration sur un interval1
+00 +oo
le quelconque, on peut permuter
et L• d'où, pour tout x E IR :
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f (x ) = L
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Puisque cette série converge en tout x E IR, le rayon de cette série entière est infini .
Finalement :
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x -
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Les méthodes à retenir
Développements en série entière
Conseils
r+oo
2
L'intégrale / 11 = f o 1 211 + 1 e1 dt a été
calculée plus haut.
• Pour déterminer le rayon de convergence R d'une série entière I:C1 11 .z'
1
, voir la rubrique «Les méthodes à
•
n ? O
retenir» p. 364. Dans la plupart des exemples où l' énoncé demande le rayon et la somme d' une série entière, la
détermination du rayon est aisée. En effet, le cœfficient a 11 est souvent une fraction rationnelle en n autre que la
fraction nulle, et alors le rayon est 1, ou bien a 11 fait intervenir simplement des exponentielles ou des factorielles
et alors le rayon peut être souvent calculé par application de la règle de d' Alembert.
Ayant déterminé le rayon R d'une série entière L a 11 z
11
, pour calculer sa somme, lorsque x E] - R; R[ (ou
n ;;.O
lxl < R), on essaiera de se ramener aux séries entières connues (tableau p. 385, à bien connaître), en utilisant
notamment les techniques suivantes :
- dérivation ou prirnitivation, éventuellement répétées, d'une série entière (ex. 6.5.7 a), b),j))
- décomposition de a 11 en éléments simples lorsque a 11 est une fraction rationnelle en n (ex. 6.5.7 c), h) àj))
- changement de variable, du genre t = Jx ou t = Fx, lorsque l'énoncé comporte x
11 et qu' on préfèrerait y
voir un élément du genre t
211 (ex. 6.5.7 e), r))
- combinaison linéaire de séries entières connues (ex. 6.5.7 g), s), u)). En particulier, si a 11 est un polynôme en
cos ne et sin ne, on essaiera de faire intervenir l' exponentielle complexe (ex. 6.5.7 u)).