6.5 • Développements en série entière
Développement en série entière pour une fonction définie par une intégrale
Montrer que la fonction!: x f----+ 1 +oo sin (xt) e12 dt est développable en série entière en 0 , déterminer le DSE(O) de f et préciser le rayon de convergence.
Solution
Pour tout x E IR, l'application 8x : t f----+ sin (xt) e -
12 est continue sur IR, et,
comme lgx (t) I ~ e -
12 et que t f----+ e -
12 est intégrable sur [0; +oo[, par théorème
de majoration pour des fonctions ;?: 0, gx est intégrable sur [O; +oo[, donc l'intégrale 1 +oo sin (xt) e -
12 dt existe.
Ceci montre : Déf (f) = IR.
Soit x E IR fixé. On a :
1
+
00
2
1 +
00
( +oo (-1)
11
2 )
f(x) =
sin(xt)e1 dt=
L
(xt) 211 + 1 e1
dt.
o
o
n=O (2n + 1) !
Notons, pour tout n E N :
f, [o
[
IR t f----+ f, (t) = (- lY (xt)2n+I e - 12.
" : ; +oo -----+ '
"
(2n + l)!
•Pour tout n E N, f,, est continue sur [0; +oo[.
(- 1 )"
2
Comme: t2 f, (t) =
x211+1 t2n+3 e - 1
-----+
0,
"
(2n+l)!
1-> +oo
1
on a, au voisinage de +oo, 1f,,(t)1 ~ 2,
t
et donc f,, est intégrable sur [0; +oo[.
•La série d'applications L f,, converge simplement sur [O; +oo[. Sa somme est
gx : t f----+ sin (xt) e -
12
.
+oo
• L f,,, qui est gx, est continue sur [O; +oo[.
11=0
r +oo
• Montrons que la série L J
0
1f,, 1 converge.
n ~O 0
On a, pour tout n E N :
r +oo
r +oo
1
1x1211+1
Jo lf,,(t)l dt= Jo (2n+l)!lxl211+1t211+1e - 12dt= (2n+l)!/,,,
r oo
en notant / 11 = J
0
t
2 11 + 1 e -
12 dt.
Et:
/ 11 =
t 2 "te -
1 dt= -
u"e - "du
1
+
00
2
1 1 +
00
0
2 0
1
1
= 2
r(n + 1) = 2
n!.
r oo
On a donc, en notant u11 = Jo lf,1 1 :
n! lxl211 +1
u - - - - -
11 -
2(2n + 1) ! ·
Conseils
S'assurer d'abord de l'existence de f (x).
L'application

sur [0; +oo[ car, au voisinage de +oo :
Rappel:
+oo (-1)11
Vu E IR, sinu - L
u
211 +
1
-
11
= 0
(2n + l)!
·
Prépondérance classique.
Exemple de Riemann en +oo, 2 > 1,
et théorème de majoration pour
des fonctions ;?: O.
On connaît la somme de la série L f,,,
n ~O
c'est gx.
Changement de variable
u = 1
2 , du= 2tdt.
Intervention de la fonction r d'Euler.
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