-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
388
Chapitre 6 • Séries entières
Solution
l
En notant b 11 = -
3
, on a b,, =/:- 0 et :
n "
b11+ 1
n3"
n
1
-----+
b 11
(n + 1)3
11 + 1
3(n + 1) noo 3
D'après la règle de d'Alembert pour les séries entières, le rayon de la série entière
L b 11 x
11 est égal à 3, donc, d'après le théorème d'équivalence, le rayon cherché R
n ;J:O
est égal à 3.
b) L'application f est définie sur IR* et, pour tout x E IR* :
sh Sx
e Sx - e - Sx
f(x ) = - - = - - -
sh x
e x - e-x
= e 4x + e 2x + l + e - 2x + e - 4x = (e 4x + e - 4x ) + (e 2x + e -2x) + l
= 2 ch 4x + 2 ch 2x + 1.
En particulier: f (x ) -----+ 2 + 2 + 1 =S.
X ----> Ü
En complétant f en 0 par f (0) = S, on a donc :
V xE IR, f (x ) =2ch4x+ 2 ch2x +l.
+oo (4x)2n
+oo (2x)2"
-
2
~ (2n) ! +
2
~ (2n)! + l
+oo 1
+oo 24n+ 1 + 2211+ 1
= S + 2::: - - (2·4
2
" + 2 · 2
2
")x
2
" = S + L
x
2
".
n=O (2n ) !
n= O
(2n) !
+oo
Autrement dit, f(x) = l::: a 11 x", où a 0 = 5, a 2 p+ 1 = 0 pour tout p E N, et
n= O
24p+ 1 + 22p+ 1
a1p =
( 2
p) !
pour tout p EN*.
Par combinaison linéaire de séries entières de rayon infini, la série entière obtenue
est de rayon infini.
c) L'application f est défini e et de classe C
1 sur IR - {- 1, 1) et on a, pour tout
xE IR - {-1 , 1):
r,:;-( l - x
2 )- x (- 2x)
v L.
2 2
f ' (x) =
(1 -~) 2
l+( t_~2)
l + x
2
l + x
2
=h
=h - -.
(1 - x 2 ) 2 + 2x 2
l + x 4
En particulier, pour tout x E ] - 1 ; 1 [ :
+oo
+oo
+oo
f '(x) = ./2(1 +x2) L(- l )" (x4)" = h l:::(- l)"x411 + h l::: C- l )11x411+2.
11= 0
n= O
n= O
On peut regrouper ces deux séries sous la forme :
VxE ] - l ; l[, j'(x)=.Ji f : (- l)E ( ! ) x
2
P .
p=O
D'après le Cours, on peut primitiver une série entière à l'intérieur de l'intervalle de
convergence, d'où :
+oo ( J )E( ~ )
V x E ] - 1 ; l[, f (x) = f (0) + h L - - x
2
P+
1 .
p=O 2p + 1
De plus : f (0) = O.
Enfin, il est clair, par la règle de d'Alembert pour les séries numériques, que le
rayon de cette série entière est égal à 1.
Conseils
On peut aussi utiliser la règle de
d'Alembert pour les séries numériques, en
.
.
. lb,,+ 1x"+ 1 1
etud1ant la suite
, pour x E JR*
lbnx"I
fixé.
Rappel: pour tout a E lR :
ea - e -a
ea + e -a
sh a =
c ha = - - -
2
2
Factorisation de a 5 - {3 5 pour (a,fJ) E JR 2 .
+oo 1
211
Rappel: V t E JR, ch t = 2:: - - .
n=O (2n) !
On regroupe les trois termes constants.
Arctan est définie et de classe C 1 sur JR.
Dérivée d'une fonction composée.
Rappel:
1
+oo
"lt E ] - 1; 1(, - - = 2::(-1 )
11 1
11
,
1 + t n=O
et on remplace t par x
4 , pour x E] - 1; 1 [.
Méthode analogue à celle de b).
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
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>- 0.
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Chapitre 6 • Séries entières
Solution
l
En notant b 11 = -
3
, on a b,, =/:- 0 et :
n "
b11+ 1
n3"
n
1
-----+
b 11
(n + 1)3
11 + 1
3(n + 1) noo 3
D'après la règle de d'Alembert pour les séries entières, le rayon de la série entière
L b 11 x
11 est égal à 3, donc, d'après le théorème d'équivalence, le rayon cherché R
n ;J:O
est égal à 3.
b) L'application f est définie sur IR* et, pour tout x E IR* :
sh Sx
e Sx - e - Sx
f(x ) = - - = - - -
sh x
e x - e-x
= e 4x + e 2x + l + e - 2x + e - 4x = (e 4x + e - 4x ) + (e 2x + e -2x) + l
= 2 ch 4x + 2 ch 2x + 1.
En particulier: f (x ) -----+ 2 + 2 + 1 =S.
X ----> Ü
En complétant f en 0 par f (0) = S, on a donc :
V xE IR, f (x ) =2ch4x+ 2 ch2x +l.
+oo (4x)2n
+oo (2x)2"
-
2
~ (2n) ! +
2
~ (2n)! + l
+oo 1
+oo 24n+ 1 + 2211+ 1
= S + 2::: - - (2·4
2
" + 2 · 2
2
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2
" = S + L
x
2
".
n=O (2n ) !
n= O
(2n) !
+oo
Autrement dit, f(x) = l::: a 11 x", où a 0 = 5, a 2 p+ 1 = 0 pour tout p E N, et
n= O
24p+ 1 + 22p+ 1
a1p =
( 2
p) !
pour tout p EN*.
Par combinaison linéaire de séries entières de rayon infini, la série entière obtenue
est de rayon infini.
c) L'application f est défini e et de classe C
1 sur IR - {- 1, 1) et on a, pour tout
xE IR - {-1 , 1):
r,:;-( l - x
2 )- x (- 2x)
v L.
2 2
f ' (x) =
(1 -~) 2
l+( t_~2)
l + x
2
l + x
2
=h
=h - -.
(1 - x 2 ) 2 + 2x 2
l + x 4
En particulier, pour tout x E ] - 1 ; 1 [ :
+oo
+oo
+oo
f '(x) = ./2(1 +x2) L(- l )" (x4)" = h l:::(- l)"x411 + h l::: C- l )11x411+2.
11= 0
n= O
n= O
On peut regrouper ces deux séries sous la forme :
VxE ] - l ; l[, j'(x)=.Ji f : (- l)E ( ! ) x
2
P .
p=O
D'après le Cours, on peut primitiver une série entière à l'intérieur de l'intervalle de
convergence, d'où :
+oo ( J )E( ~ )
V x E ] - 1 ; l[, f (x) = f (0) + h L - - x
2
P+
1 .
p=O 2p + 1
De plus : f (0) = O.
Enfin, il est clair, par la règle de d'Alembert pour les séries numériques, que le
rayon de cette série entière est égal à 1.
Conseils
On peut aussi utiliser la règle de
d'Alembert pour les séries numériques, en
.
.
. lb,,+ 1x"+ 1 1
etud1ant la suite
, pour x E JR*
lbnx"I
fixé.
Rappel: pour tout a E lR :
ea - e -a
ea + e -a
sh a =
c ha = - - -
2
2
Factorisation de a 5 - {3 5 pour (a,fJ) E JR 2 .
+oo 1
211
Rappel: V t E JR, ch t = 2:: - - .
n=O (2n) !
On regroupe les trois termes constants.
Arctan est définie et de classe C 1 sur JR.
Dérivée d'une fonction composée.
Rappel:
1
+oo
"lt E ] - 1; 1(, - - = 2::(-1 )
11 1
11
,
1 + t n=O
et on remplace t par x
4 , pour x E] - 1; 1 [.
Méthode analogue à celle de b).