f) (1 + x)ln (l +x)
ln ( l +x)
11 +
1 1
g)
, on fera intervenir H,,+ 1 = L -
x(l + x)
k= I k
h ) ln(l + x + x 2 )
i) ln(x 2 + px + q), (p ,q ) E IR 2 , p 2 - 4q > 0
j ) ln ( 1 + 1 : x2 )
1 -x
k) ln - -
2
l +x
l) ln (0+x + .Jl=X)
m) sin 3 x
n) { ( ' ; : /
si x=f: O
si x =O
o) { (1 T x)'
4
2 (x + 1)
p ) Arctan - - -
x - 4
si X =fa 0
si X = 0
(
1 - x
)
J rr rr [
q) Arctan - - tan a , a E - - ; -
1 +x
2 2
--- r) (Arcsin x) 2
s) ea Arccos x, a E IR
t) exchach (x sh a)
et excha sh(xsh a) , a E IR
u) fox sin (t 2 ) dt
{
rx e' - l dt si X =fa 0
v) Jo t
0
si X = 0
1
2 x cht
w)
-
dt si x =fa 0, complétée par continuité en 0
X
f
_ ,2 { X 1 2
x) e - T Jo eT dt
y) fo
1
ln(l +xsin
2 t) dt
6.5 · Développements en série entière
Io
'f Arctan(xsin t)
a ')
.
dt.
o
sm t
6.5.9 Calculer les sommes des séries suivantes :
+oo
a) l::n
3 T
11
n=O
+oo
1
b) , ?; (n + 1)(2n + 1)
+oo (- 1)"
c) L: - -
n=2 n (n - l )
+oo n3 + 1
d) L::: - - (- 1)
11
n=O n !
+oo (- 1)"
e) ?; 3n + 1
+oo
l
f) ?; (3n + 1)(6n + 5)
6.5.10
Montrer que l'application f : IR - IR définie
Si X =fa 0
poc ' f(x) = {
1 - CO SX
x2
1
est de classe C
00
2
si X = 0
sur IR .
6.5.11 Etudier les convergences et calculer la somme de
la série d'applications L fn où .fn : IR'f. - IR
n;;,O
x ~x 11 +2 - 11 x - 11
+oo
6.5.12 Résoudre l'équation L (3 n + 1) 2 x
11 = 0 ,
n=O
d'inconnue x E IR .
6.5.13 a) Pour (a, b) E IR 2 , étudie r la convergence de la
1
série numérique L 2
(a" + b") .
n;;, l n
b) Calculer la somme dans le cas : a = x ,
X
b=- - -.
1 -x
6.5.14 Nature et somme éventuelle de la série numérique
a
11 (1 + b")
L
, (a ,b) E (IR+) 2 .
n;;, I
n
6.5.15 Pour (p,e) E]O; l[ x ] - rr ; rr[, z = pè 9 , calculer
+oo z"
L - . (Utiliser l'exercice 6.5.7 t) p. 392).
n= l n
393