6.5 · Développements en série entière
+oo xln
ch x =~ (Zn)!
+oo
X 2n +I
sh x = ' °"' ---;SJ (2n + I ) !
+oo (- 1 )11x211
COS X = I:--11=0
(2n) !
.
+oo ( - l )11x 211+ 1
s in x = ~ (2n + I)!
Liste des OSE (0) usuels
Formule
L
+oo a (a - 1) ... (a - n + 1)
(1 + x )" = 1 +
x"
n'
n= I
.
1
+oo
-
= I:c-1)
11 x
11
1 +x 11=0
1
+oo
-
= L: x"
1 -x
n= O
+oo (- 1 )'' +'
ln ( I + x) = L: - - -x"
n = I
n
+oo x"
- ln ( l - x)= L -
n= l n
+oo (- 1)"
Arctan x = 2= - - -x 211 +'
11
= 0 2n + 1
1
1 +X + oo x211+ 1
Argth x = -
2
ln - - = 1:: --1 - X
ll= O 2n + 1
+oo 1 · 3 · ... · (2n - 1) x 211 + 1
Arcsin x = x + L ------11= 1 2 · 4 · ... · (2n) 2n + 1
+oo
1 ·3· ... ·(2n - 1) x 211 + 1
Argsh x= ln (x+ v'î+X2)=x+ L (- 1)
11
- - - - - - - - - -
11= 1
2 · 4 · .. . · (2n) 2n + 1
Rayon de la
série e ntière
OO
OO
OO
OO
OO
Ensemble
de validi té
de la formu le
] - ! ; ![
(oo si a E N) (IR. si a E N )
] - 1; I [
] - 1; I [
] - 1; I ]
[- 1; I [
[- 1; I]
] - 1; I [
[- 1; I]
[- 1; I]
385