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384
Chapitre 6 • Séries entières
Application du DSE (0) de
1
x ~ - -,àx 2 àlaplacedex.
l+x
Utiliser le TSCSA pour obtenir une
majoration uniforme du reste.
Application du DSE (O) de
x ~ ( 1 + x )" ,en remplaçant x par
2
1
- x eta par - 2 .
Dans le produit 1 · 3 . . . (2n - 1 ),on
intercale les facteurs 2,4, ... , (2n).
Exercices 6.5.7 à 6.5.34.
5) OSE (0) de fonctions circulaires réciproques et de certains logarithmes
a) Puisque :
1
+oo
- -
2
= L ( -1 t x 2 n, on déduit, en primitivant :
1 +X
n=O
'Vx E)-1; 1(,
'V X E) - 1; 1 [,
+oo ( l)n
Arctanx = z= - - - -x 2 n+l.
n=O 2n + 1
Remarque: Par le même raisonnement que dans la Remarque du 4), la formule précédente
+oo (-l)n
n
est encore valable en 1, c'est-à-dire:
1
~ 2
n + 1 = 4·
1
b) En primitivant le DSE(O) de x 1-----+ - -
2
, on obtient :
1-x
'Vx E) - l; l[,
1
1 +x
+oo x2n+I
Argthx = - ln - - = 2: --.
2
1 - X
n=O 2n + 1
On peut aussi obtenir ce DSE en utilisant :
'Vx E)-1; l[,
1
l+x
1
l+x
1
1
- ln - - = - ln - - = - ln(l + x) - - ln(l - x).
2
1-x
2
1-x
2
2
c) D'après 3): 'V x E] - 1; l[,
d'où, par primitivation :
'V X E)-1 ; 1(,
.
+oo 1·3 · ... · (2n - 1) x 2 n+l
+oo (2n)! x 2 n+I
Arcsm x = x+ "\'
- - = "\' - - - --- .
~ 2 · 4 · ... · (2n) 2n + 1 ~ (2nn!)2 2n + 1
1
d) On obtient de même, en primitivant le DSE(O) de x 1-----+ - - -
J 1 + x2 .
'V X E) - 1; 1 [,
+oo
1 · 3 · ... · (2n - 1) x 211 + 1
Argshx = ln (x + ~) = x + L(-1)
11
- -
n= l
2 · 4 · ... · (2n) 2n + 1
+oo (-1)"(2n)! x211+1
= L (2"n!) 2 2n+l·
n =O
Remarque: On peut montrer que les formules de c) et d) restent encore valable pour x = -1
et pour x = l (cf. exercice 6.5.19 p. 394).