"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
b ·;::
>- 0.
0
u
S et fa vérifient la même équation
différentielle avec la même condition
initiale.
Cf. Analyse MPSI, § 10.1.2 Théorème,
résolution d'une équation différentielle
linéaire du premier ordre, sans second
membre.
Ce résultat était déjà connu :il s'agit de
la série géométrique.
Méthode utile pour les exercices : le
TSCSA peut permettre d'obtenir une
majoration de la valeur abslolue du reste.
Utilisation du théorème sur convergence
uniforme et continuité, pour une série
d'applications, cf. § 5.3.1 Prop. 1.
6.5 • Développements en série entière
Si a E N, alors les a 11 sont tous nuls à partir d ' un certain rang, et le rayon de la série entière
z=a,, x" est +oo et sa somme est définie sur JR .
n ~O
Si a ri. N comme 1a,,+
1 1 = 1 a - n 1 ~ l , le rayon de la série entière L a,,x" est l et sa
a,,
n + l 1100
0
n;;<
somme S est définie sur] - l ; l[.
D'après 1), S est solution sur] - l ; l[, de l'équation différentielle (E), qui est linéaire du premier ordre. Il ex iste donc À E lR tel que :
\lx E] - 1; 1[, S(x) = Àe' · dn(l+x) = À( l +x)a.
Comme de plus S(O) = ao = 1 , on conclut : V x E] - 1; 1[, S(x) = ( 1 + x)a = fa(x).
Finalement, fa est dSE(O) , de rayon 1 si a f/ N , de rayon +oo si a E N et :
a
~ a(a - 1) ... (a - n + 1) 11
(1 +X) = 1 + L..,
X .
n=l
n !
'VxE)-1;1[,
En particulier :
\;/X E] - 1; l[,
1
+oo
-
= L (-l)"x".
1 +X
n=O
En remplaçant x par -x, on retrouve la série géométrique:
'VxE]-1;1[,
_ l_ - ~x"
1-x - L
.
n=O
4) 0SE (O) de x i------+ ln (1 +x) et x i------+ -ln ( l -x)
1
En primitivant le DSE(O) de x ~ - -, on obtient:
1 +x
'VxE]-1;1[,
+oo (-l)n + I
ln ( l +x) = L
x".
n= l
n
Remarque : La série d'applications L f,,, où fn : [0; l] ~ lR converge uniformément
1
( l )"+ I
n ~
x._,. - - - -x"
n
( 1)"+ 1
sur [O; 1]. En effet, pour tout x E [O; l], la série numérique L - x" relève duTSCSA et
n;;< I
n
donc, d 'après l'étude du reste d'une série relevant du TSCSA (cf. 4.3.8 2) c) Proposition):
1
+oo (-1/+1 kl 1(-l)n+2x11+l1 xn+ I
1
I R (x)I -
" '
x ~
- - - ~ - -
n
-
L
k
""'
n+l
- n+l ""' n+l'
k=n+I
l
d'où llR,,l loo ~ - - et donc llR,, lloo ~ O.
n + 1
1100
Comme chaque f 11 est continue en 1, on conclut que la somme S est continue en 1, d'où :
+oo (-l)n +I
L
= S(l) = lim S(x) = lim ln (1 + x) =ln 2.
n
x --> J -
x--> I -
n= I
Cf. aussi exercice 5.3.14, p. 325.
En remplaçant x par -x dans le DSE (0) de x ~ ln( 1 + x), en multipliant par -1, on obtie nt :
'VxE]-1;1[,
+oo x"
-ln (l - x) = z=- .
n= l n
383
0
c
::J
0
(V)
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0
N
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>- 0.
0
u
S et fa vérifient la même équation
différentielle avec la même condition
initiale.
Cf. Analyse MPSI, § 10.1.2 Théorème,
résolution d'une équation différentielle
linéaire du premier ordre, sans second
membre.
Ce résultat était déjà connu :il s'agit de
la série géométrique.
Méthode utile pour les exercices : le
TSCSA peut permettre d'obtenir une
majoration de la valeur abslolue du reste.
Utilisation du théorème sur convergence
uniforme et continuité, pour une série
d'applications, cf. § 5.3.1 Prop. 1.
6.5 • Développements en série entière
Si a E N, alors les a 11 sont tous nuls à partir d ' un certain rang, et le rayon de la série entière
z=a,, x" est +oo et sa somme est définie sur JR .
n ~O
Si a ri. N comme 1a,,+
1 1 = 1 a - n 1 ~ l , le rayon de la série entière L a,,x" est l et sa
a,,
n + l 1100
0
n;;<
somme S est définie sur] - l ; l[.
D'après 1), S est solution sur] - l ; l[, de l'équation différentielle (E), qui est linéaire du premier ordre. Il ex iste donc À E lR tel que :
\lx E] - 1; 1[, S(x) = Àe' · dn(l+x) = À( l +x)a.
Comme de plus S(O) = ao = 1 , on conclut : V x E] - 1; 1[, S(x) = ( 1 + x)a = fa(x).
Finalement, fa est dSE(O) , de rayon 1 si a f/ N , de rayon +oo si a E N et :
a
~ a(a - 1) ... (a - n + 1) 11
(1 +X) = 1 + L..,
X .
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En particulier :
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1
+oo
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= L (-l)"x".
1 +X
n=O
En remplaçant x par -x, on retrouve la série géométrique:
'VxE]-1;1[,
_ l_ - ~x"
1-x - L
.
n=O
4) 0SE (O) de x i------+ ln (1 +x) et x i------+ -ln ( l -x)
1
En primitivant le DSE(O) de x ~ - -, on obtient:
1 +x
'VxE]-1;1[,
+oo (-l)n + I
ln ( l +x) = L
x".
n= l
n
Remarque : La série d'applications L f,,, où fn : [0; l] ~ lR converge uniformément
1
( l )"+ I
n ~
x._,. - - - -x"
n
( 1)"+ 1
sur [O; 1]. En effet, pour tout x E [O; l], la série numérique L - x" relève duTSCSA et
n;;< I
n
donc, d 'après l'étude du reste d'une série relevant du TSCSA (cf. 4.3.8 2) c) Proposition):
1
+oo (-1/+1 kl 1(-l)n+2x11+l1 xn+ I
1
I R (x)I -
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x ~
- - - ~ - -
n
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d'où llR,,l loo ~ - - et donc llR,, lloo ~ O.
n + 1
1100
Comme chaque f 11 est continue en 1, on conclut que la somme S est continue en 1, d'où :
+oo (-l)n +I
L
= S(l) = lim S(x) = lim ln (1 + x) =ln 2.
n
x --> J -
x--> I -
n= I
Cf. aussi exercice 5.3.14, p. 325.
En remplaçant x par -x dans le DSE (0) de x ~ ln( 1 + x), en multipliant par -1, on obtie nt :
'VxE]-1;1[,
+oo x"
-ln (l - x) = z=- .
n= l n
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