Chapitre 6 • Séries entières
Nous verrons plus loin (6.6.2 Proposition
p. 426) qu'on peut aussi déduire ces
DSE(O) du DSE(O) de ez, z E C.
' ÜJ Cf.aussi plus loin,8.4.5 p.487.
0 ::J
0
(V)
......
0
N
@
382
Dérivation terme à terme à l'intérieur de
l'intervalle de convergence.
On remplace y(x) et y'(x) par leurs
expressions, sous forme de séries
entières, dans l'équation différentielle.
Changement d'indice n ~ n - 1
dans la première somme, afin de
remplacer x
11 -
1 par x".
On obtient la valeur nécessaire des
coefficients a,. du DSE(O) de fa. sous
l'hypothèse que fa soit dSE(O).
On considère la série entière obtenue
en 1).
2) OSE (0) de cos, sin
Les applications cos, sin sont C
00 sur IR et :
'v'(n,x) EN x IR,
l
cos(n)(x) = cos(x + n;)
sin<
11 )(x) = sin(x + n;)
En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, on montre, de même qu'en 1), que cos et
sin sont dSE(O) , de rayon oo, et :
'v' XE IR, (
+oo (-l)"x2"
cos X= L
'
n=O
(2n) !
.
+oo ( _ 1 )" x211+ 1 )
Stn X=~ (2n + 1)! .
3) OSE (O) de .fa : x 1------+ ( 1 + x)a , a E lR fixé
Nous allons utiliser ici la méthode dite «de l'équation différentielle ».
L'application la est de classe C
00 sur] - l; +oo[ et :
'v'x E] - l; +oo[, l~(x) = a(l + x)a - I = _a_la(x).
l+x
Ainsi, la est solution sur ] - 1; +oo[ de l'équation différentielle
(E)
(1 + x)y' - a.y= 0
1) Soit y une fonction dSE(O) ; il existe une série entière L a 11 x
11 de rayon R > 0 et r E IR+
n ~O
tels que: 1
r ::::; Min(l .. R)
'v'xE]-r,r[,
+oo
y(x) = l:a11 x
11
•
n=O
+oo
D'après 6.4 Théorème 2 p. 372, on a alors : 'v' x E] - r; r[, y'(x) = L:na 11 x
11
-
1 •
n=I
On a, pour tout x de] - r; r[ :
+oo
+oo
(1 + x)y' (x) - a y(x) = (1 + x) L na 11 xn-I - a L a 11 x
11
n=I
n=O
+oo
+oo
+oo
= L na 11 x
11
- I + L na 11 x
11
- a L a 11 x
11
n=I
n=I
n=O
+oo
+oo
+oo
= L(n + 1)a 11 +1x" + l:na11 x
11 -a L:a11 x
11
n=O
n=I
n=O
+oo
= L((n + l)a 11 +J + nan - aa11 )x
11
•
n=O
Pour que y soit solution de (E) sur ] - r ; r[ et que y(O) = 1, il faut et il suffit, par unicité du
DSE(O) de la fonction nulle 0, que :
{
a 0 = 1
'v'n EN, (n + l)a 11 +1 =(a - n)a 11
c'est-à-dire : 1
ao=1
'v'n EN,
a(a - 1) ... (a - n + 1)
Gn = - - - - - - - - -
n!
2) Considérons maintenant la série entière L a 11 x
11
, où :
n ~O
a 0 = l
a(a - 1) ... (a - n + 1) .
et a 11 =
SI n ~ l.
n!