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Ol
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>- 0.
0
u
Exercice 6.5.6.
+oo
et donc F(z) = L lin Zn où:
n=O
6.5 • Développements en série entière
Vn EN, an= -2 (~r + (l -2i)(-i)n + (1 +2i)i",
ou encore : V p E N, { a 2 P
a2p+I
= -21 - 2p + 2(-l)P
= -2- 2 P - 4(-l)P.
6.5.:>
Soient P E IC[X] de degré 2, et f : IR _____,. IC .
Xf---+eP(x )
n
P dans C. Pour tout p de N*, on note Sp = 2= z;P.
k=l
Montrer que le DSE(O) de f ne peut avoir deux coefficients consécutifs nuls.
6.5.4 Soient P E IR[X], f: IR -+ IR. On suppose que les
x1--->eP(x)
coefficient du DSE(O) de f sont tous ~ 0. Soit xo E IR+ tel
que P' (xo) = 0 ; montrer P" (xo) ~ O.
6.5.5 Soient f,g deux fonctions dSE(O) telles que
f g = 0. Montrer qu'il existe V E VIR (0) tel que : f 1 v = 0
ouglv =0.
6.5.6 Soient n E N*, (ao, . .. ,a,,) E en+ I tel que ao of. 0
n
et a,, i- 0 , P = L akxk E IC[X], Zt , ... ,Zn les zéros de
k=O
6.5.3
DSE(O) usuels
Montrer:
p
V p EN*, pap + Lap-qSq =O.
q=l
P '(z)
Indication : former le DSE(O) de - -.
P(z)
Application
4
Calculer 2=z;; 3 , où z1, ... ,z4 sont les
k=I
zéros (dans IC) de X 4 + x 2 +X+ 1.
1) OSE(O) de exp : x ~ ex
Pourmontrerquex r-+ ex estdSE(O) et
calculer son OSE (0), on pourrait aussi
utiliser la méthode dite «de l'équation
différentielle », qui sera illustrée par
l'étude dex r-+ (1 + x)", p.414.
L'apparitiondufacteurMax(l ,ex) est
dueàcequex peut être :;;:; 0 ou~ O.
Six :;;:; O,ona:
V t E (x; 0], 0 < e
1 :;;:; 1 .
Six ~ O,ona:
Vt E [O;x], 0 < e
1 :;;:; ex.
L'application exp est C
00 sur IR et : V n E N, exp En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral, on obtient, pour tout (n ,x) de N x IR :
n k fox ( )"
X
'"'X
X-f
I
e = L., - +
e dt.
k=O k!
o
n!
Comme:
1
r (x - t)n el dtl :;;:; Max(l,ex) · I r (x - t)n dtl = Max(l,é). 1x1n+l '
Jo n!
Jo n!
(n+l)!
on déduit : V x E IR,
1
x (x - t)"
xk
+oo xk
- - -e
1 d f----;.0, et donc L - converge et L - = ex.
0
n!
1100
k!
k!
k ~O
k=O
Nous verrons plus loin (6.6.1 1) Définition p. 395), que l'on peut prolonger exp à C de manière satisfaisante.
+oo (- l )"xn
En remplaçant x par -x, on obtient: V x E IR, e - x = L · 1
,
n=O
n.
et on en déduit, par combinaisons linéaires, que ch, sh sont dSE(O), de rayon oo et :
V XE IR, (
+oo x2n
chx = L (2n)!'
n=O
+oo x2n+l )
sh x = ?; ( 2 n + 1) ! .
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