'
Chapitre 6 • Séries entières
Remarque souvent utile en pratique, par
exemple pour montrer que la fonction
f : lR ~ lR définie par :
f (x) = { si: x si x # 0
J Si X= Û
est dSE (0) et calculer son OSE (0).
Exercices 6.5.4, 6.5.5.
i..;.
Remarquer la miseenfacteurdezo dans
"O
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
@
D
'>- o.
0
u
380
z - zo.afindefaireapparaître 1 - ~.
zo
L'argu mentation du point 2) peut
s'appliquer à d'autres types d'exemples.
Sauf remarque particulière, pour calculer
le OSE (0) d'une fraction rationnelle
n'ayant pas 0 pour pôle, on utilisera une
décomposition en éléments simples
dansC[X].
Ces trois OSE (0) sont valables lorsque
respectivement :
lil < 1. 1-izl < 1,lizl < 1 ,ce
qui revient à: lzl < 1.
1
f(x) - f (0)
Remarque : Si f est dSE(O), alors l'application fi : x r----+
x
f'(O)
SÎ X#- 0
est
SI X= 0
dSE(O).
En effet, il existe une série entière L anxn de rayon R > 0 et un voisinage U de 0 dans IR.
n;;:O
+oo
tels que: Vx E Un] - R; R[, f(x) = z= a,,x".
ll= Ü
Comme f(O) =ao etf' (O) =a1,ondéduit:
l
V x E (Un ] - R; R[) - {0},
/1 (0) = f'(O) = a1.
+oo
et donc: Vx E Un ] - R; R[, f 1 (x) = L:a 11 + 1 x
11
•
11=0
4) Cas d'une fraction rationnelle
Pour l'étude du DSE(O) d'une fraction rationnelle, nous admettrons que les définitions et propriétés précédentes, dans ce § 6.5 , s'étendent au cas où l a variable est complexe.
Remarque: Toute fraction rationnelle F n'admettant pas 0 pour pôle est dSE(O) et le rayon
du DSE(O) de Fest le minimum des modules des pôles complexes de F.
En effet :
1) En décomposant F en éléments simples dans C(X) (cf. Algèbre MPSI), on est ramené à
À
.
chercher le DSE(O) d'un élément simple z r----+
, ou À E C* zo E C* a EN* .
(z - zoV
Pourtout z de C tel que lzl < lzol. on a:
À
À
(
z )-a
(z - zo)"' = (-zo)"'
1
- zo
À
l
+oo(n-l)!(z)n - a
(-zo)"' (a - 1)! ~ (n - a) ! zo
À
(cf. 6.4 Exemple p. 373), ce qui montre que z r----+
est dSE(O), de rayon lzol.
(z - zo)"'
En notant p le minimum des modules des pôles complexes de F, et en appliquant la
Proposition 1 p. 378, on conclut que F est dSE(O), de rayon ~ p .
2) Pour montrer que le rayon R du DSE(O) de F est p, raisonnons par l'absurde : supposons
R > p . li existe un pôle complexe zo de F tel que p = lzol. Comme lzol < R ,F est continue
en zo (cf.6.4,Théorème 1 p. 372), ce qui est impossible puisque IF(z) I ______,. + oo.
z--+zo
Exemple:
F
1
d
10.::
, .
ormer e DSE(O) e F : .:: r----+ .:: 1 _ 2
.:: 2 + ; : : _ 2
et prec1ser son rayon R.
Comme x 3 - 2X 2 +X - 2 = (X - 2) (X - i) (X + i), les pôl es complexes de F sont
2,i,-i , et donc R = Min(l21.I - i l.li !) = 1.
On obtient la décomposition simple dans C(X) (cf. Algèbre MPSI) :
lOX
4
- 2 - i
- 2 + i
(X-2)(X- i)(X+i) = X-2 + X-i + X+ i .
Pour tout z de C tel que lzl < 1, on a:
4
-2
+oo ( z)n
z - 2 = i - ~ = - 2 z= 2
. 2
n=O
- 2 - i
1 - 2i
+oo
- - . = - - . = (l - 2i) L (-iz)n
Z - 1
1 + lZ
n=O
-2 + i
+oo
- - . = (1 + 2i) L (iz)n,
z + l
n=O
Chapitre 6 • Séries entières
Remarque souvent utile en pratique, par
exemple pour montrer que la fonction
f : lR ~ lR définie par :
f (x) = { si: x si x # 0
J Si X= Û
est dSE (0) et calculer son OSE (0).
Exercices 6.5.4, 6.5.5.
i..;.
Remarquer la miseenfacteurdezo dans
"O
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
@
D
'>- o.
0
u
380
z - zo.afindefaireapparaître 1 - ~.
zo
L'argu mentation du point 2) peut
s'appliquer à d'autres types d'exemples.
Sauf remarque particulière, pour calculer
le OSE (0) d'une fraction rationnelle
n'ayant pas 0 pour pôle, on utilisera une
décomposition en éléments simples
dansC[X].
Ces trois OSE (0) sont valables lorsque
respectivement :
lil < 1. 1-izl < 1,lizl < 1 ,ce
qui revient à: lzl < 1.
1
f(x) - f (0)
Remarque : Si f est dSE(O), alors l'application fi : x r----+
x
f'(O)
SÎ X#- 0
est
SI X= 0
dSE(O).
En effet, il existe une série entière L anxn de rayon R > 0 et un voisinage U de 0 dans IR.
n;;:O
+oo
tels que: Vx E Un] - R; R[, f(x) = z= a,,x".
ll= Ü
Comme f(O) =ao etf' (O) =a1,ondéduit:
l
V x E (Un ] - R; R[) - {0},
/1 (0) = f'(O) = a1.
+oo
et donc: Vx E Un ] - R; R[, f 1 (x) = L:a 11 + 1 x
11
•
11=0
4) Cas d'une fraction rationnelle
Pour l'étude du DSE(O) d'une fraction rationnelle, nous admettrons que les définitions et propriétés précédentes, dans ce § 6.5 , s'étendent au cas où l a variable est complexe.
Remarque: Toute fraction rationnelle F n'admettant pas 0 pour pôle est dSE(O) et le rayon
du DSE(O) de Fest le minimum des modules des pôles complexes de F.
En effet :
1) En décomposant F en éléments simples dans C(X) (cf. Algèbre MPSI), on est ramené à
À
.
chercher le DSE(O) d'un élément simple z r----+
, ou À E C* zo E C* a EN* .
(z - zoV
Pourtout z de C tel que lzl < lzol. on a:
À
À
(
z )-a
(z - zo)"' = (-zo)"'
1
- zo
À
l
+oo(n-l)!(z)n - a
(-zo)"' (a - 1)! ~ (n - a) ! zo
À
(cf. 6.4 Exemple p. 373), ce qui montre que z r----+
est dSE(O), de rayon lzol.
(z - zo)"'
En notant p le minimum des modules des pôles complexes de F, et en appliquant la
Proposition 1 p. 378, on conclut que F est dSE(O), de rayon ~ p .
2) Pour montrer que le rayon R du DSE(O) de F est p, raisonnons par l'absurde : supposons
R > p . li existe un pôle complexe zo de F tel que p = lzol. Comme lzol < R ,F est continue
en zo (cf.6.4,Théorème 1 p. 372), ce qui est impossible puisque IF(z) I ______,. + oo.
z--+zo
Exemple:
F
1
d
10.::
, .
ormer e DSE(O) e F : .:: r----+ .:: 1 _ 2
.:: 2 + ; : : _ 2
et prec1ser son rayon R.
Comme x 3 - 2X 2 +X - 2 = (X - 2) (X - i) (X + i), les pôl es complexes de F sont
2,i,-i , et donc R = Min(l21.I - i l.li !) = 1.
On obtient la décomposition simple dans C(X) (cf. Algèbre MPSI) :
lOX
4
- 2 - i
- 2 + i
(X-2)(X- i)(X+i) = X-2 + X-i + X+ i .
Pour tout z de C tel que lzl < 1, on a:
4
-2
+oo ( z)n
z - 2 = i - ~ = - 2 z= 2
. 2
n=O
- 2 - i
1 - 2i
+oo
- - . = - - . = (l - 2i) L (-iz)n
Z - 1
1 + lZ
n=O
-2 + i
+oo
- - . = (1 + 2i) L (iz)n,
z + l
n=O