\j Cf. 6.2.1 Prop. 1 et 2.
En pratique, si f et g sont dSE(O), alors,
d'après la Proposition 2.f g est dSE (0),
mais on essaiera souvent d'obtenir le
DSE (O) de f g autrement que par
produit de deux DSE (0).
7 La série entière produit L c 11 x" est
~
11 ~0
définie par:
Il
"ln EN,
C11 = Lakb11-k·
k=O
Exercice 6.5.3.
En bref, on peut dériver terme à terme
un DSE (0).
6.5 • Développements en série entière
Le rayon Ri de la série entière L01.a 11 + b 11 )x
11 est > 0 (car Ri ? Min(R,R' ) , cf. p. 367), et, en
n;;,O
notant U 1 =Un U' E Vni: (O), on a:
+oo
V x E U1 n]-R1; R1[, (Àf +g)(x) = L(Àan +h11)x
11
,
n=O
ce qui montre que Àf + g est dSE(O).
•
2) Produit
.1' L'·'Afli·'·'fJ 1...._ _________________________ _
Sjf,g sont dSE(O), alors/ g est dSE(O), et le DSE(O) de/ g est le produit des DSE(O)
de/ et de g.
Preuve
Avec les mêmes notations que dans la Proposition 1, le rayon R1 de la série entière produit L c 11 x
11
n ~O
est > 0 car R1 ~ Min(R,R') , cf. 6.2.3 Proposition p. 369, et on a: Vx E U 1 n)- R 2 ; R 2 [,
+oo
(f g)(x) = L c,,x" , (cf. 6.2.3 Proposition p. 369), ce qui montre que f g est dSE(O).
11=0
3) Dérivation, primitivation
Si f est dSE(O), alors la dérivée f
1 de f est dSE(O) et le DSE(O) de f
1 est obtenu en
dérivant terme à terme le DSE(O) de f
Preuve
Il existe une série entière L a,,x", de rayon R > 0 , et un voisinage U de 0 dans lR tels que:
11 ;;,0
+oo
Vx E Un]- R; R[, f(x) = z=a,,x".
11=0
D'après 6.4 Théorème 2 p. 372, f est dérivable sur Un) - R; R[ et:
+oo
V x EU n ) - R ; R[, f'(x) = L:na 11 x 11 - 1 ,
n= I
ce qui montre que f ' est dSE(O) et que le DSE(O) de f' s'obtient en dérivant terme à terme le DSE(O)
de f.
Si f est dSE(O), les dérivées successives de f et les «primitives successives» dej
sont dSE(O), et les DSE(O) de ces dérivées ou primitives s'obtiennent en dérivant ou
en primitivant terme à terme le DSE(O) de f.
En primitivant, on veillera à ne pas oublier la « constante d'intégration » : si f admet le
+oo
DSE(O) f (x ) = L a 11 x
11 et si F est une primitive de f, alors F admet le DSE(O) :
n=O
+oo a
F(x) = F(O) + L -"-xn+I.
n=O n + 1
379
En pratique, si f et g sont dSE(O), alors,
d'après la Proposition 2.f g est dSE (0),
mais on essaiera souvent d'obtenir le
DSE (O) de f g autrement que par
produit de deux DSE (0).
7 La série entière produit L c 11 x" est
~
11 ~0
définie par:
Il
"ln EN,
C11 = Lakb11-k·
k=O
Exercice 6.5.3.
En bref, on peut dériver terme à terme
un DSE (0).
6.5 • Développements en série entière
Le rayon Ri de la série entière L01.a 11 + b 11 )x
11 est > 0 (car Ri ? Min(R,R' ) , cf. p. 367), et, en
n;;,O
notant U 1 =Un U' E Vni: (O), on a:
+oo
V x E U1 n]-R1; R1[, (Àf +g)(x) = L(Àan +h11)x
11
,
n=O
ce qui montre que Àf + g est dSE(O).
•
2) Produit
.1' L'·'Afli·'·'fJ 1...._ _________________________ _
Sjf,g sont dSE(O), alors/ g est dSE(O), et le DSE(O) de/ g est le produit des DSE(O)
de/ et de g.
Preuve
Avec les mêmes notations que dans la Proposition 1, le rayon R1 de la série entière produit L c 11 x
11
n ~O
est > 0 car R1 ~ Min(R,R') , cf. 6.2.3 Proposition p. 369, et on a: Vx E U 1 n)- R 2 ; R 2 [,
+oo
(f g)(x) = L c,,x" , (cf. 6.2.3 Proposition p. 369), ce qui montre que f g est dSE(O).
11=0
3) Dérivation, primitivation
Si f est dSE(O), alors la dérivée f
1 de f est dSE(O) et le DSE(O) de f
1 est obtenu en
dérivant terme à terme le DSE(O) de f
Preuve
Il existe une série entière L a,,x", de rayon R > 0 , et un voisinage U de 0 dans lR tels que:
11 ;;,0
+oo
Vx E Un]- R; R[, f(x) = z=a,,x".
11=0
D'après 6.4 Théorème 2 p. 372, f est dérivable sur Un) - R; R[ et:
+oo
V x EU n ) - R ; R[, f'(x) = L:na 11 x 11 - 1 ,
n= I
ce qui montre que f ' est dSE(O) et que le DSE(O) de f' s'obtient en dérivant terme à terme le DSE(O)
de f.
Si f est dSE(O), les dérivées successives de f et les «primitives successives» dej
sont dSE(O), et les DSE(O) de ces dérivées ou primitives s'obtiennent en dérivant ou
en primitivant terme à terme le DSE(O) de f.
En primitivant, on veillera à ne pas oublier la « constante d'intégration » : si f admet le
+oo
DSE(O) f (x ) = L a 11 x
11 et si F est une primitive de f, alors F admet le DSE(O) :
n=O
+oo a
F(x) = F(O) + L -"-xn+I.
n=O n + 1
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