Chapitre 6 • Séries entières
Contre-exemple classique, dont la
connaissance est utile.
Remarque: Il se peut qu'une fonction f soit de classe C
00 sur un voisinage de 0 sans que
f soit dSE(O). Considérons, par exemple,f : IR ~ IR définie par:
f(x) = 1 e
0
-* Si X f= 0
Si X =0
• L'application f est de classe C
00 sur IR* et on montre, par récurrence sur n, que, pour tout n
de N , il existe Pn E IR[X] tel que :
V XE IR* , f (n)(x) = Pn
3
(x) e- *.
g Cf.Analyse MPSl,5.2.2 Corollaire.
X n
Une application repétée du théorème limite de la dérivée permet de déduire que f est de
classe C
00 sur IR et: V n E N, t .....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
378
·Si f était dSE(O), il existerait un voisinage U de 0 tel que :
+oo f (n)(O)
'Vx EU, f(x) = 2 : --xn = 0,
n=O n!
ce qui est impossible puisque f ne s'annule qu'en O.
6.5.1
Soient U E VJR (O), f ,g: U ~ C dSE(O),
6.5.2
Soit E le IR -ev des applications continues de
[-1; 1] dans IR , muni de 11. 11 00 . On note D l'ensemble des
0
V E VIR (O), h: V~ C définie par:
h(x) = { f (x)
g(x)
Si X ~ 0
si X < 0
él éments f de E dSE(O). Montrer : D = 0 .
Montrer que h est dSE(O) si et seulement s'il existe
W E VIR (O) tel que: V x E W , f(x) = g(x).
6.5.2
En bref, on peut addit ionner deux
DSE (0) ou multiplier un DSE (0) par un
complexe fixé.
1
Opérations sur les fonctions développables
en série entière
1) Addition, loi externe
et si f,g sont dSE(O), de DSE(O) respectifs L anxn, L bnxn, alors
n ;;,O
n ;;.O
À f + g est dSE(O) et son DSE(O) est L (À.an + bn )x
11
•
J
n ;;,O
_ _ _____..
Preuve
Il ex iste deux séries entières L anxn , L bnxn , de rayons respectivement notés R , R', et
n;;,O
n;;,O
R > 0, R' > 0
+oo
deux voisinages U, U' de 0 dans IR tels que :
Vx E U n ] - R ; R[, f(x) = L anx"
n=O
+oo
'Vx E U ' n ] - R' ; R' [, g(x) = L hnx" .
n=O