-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
fJ o.
0
u
Résultat important, faisant le lien entre les
ail et les dérivées successives def en O.
Comme les ail s'expriment en fonction
de f. il ya unicité de (ail )11eN pour f
donnée.
Exercices 6.5.1 , 6.5.2.
Si V n'est pas symétrique par rapport
à 0, on peut remplacer V par un
voisinage W de 0, symétrique par
rapport à 0 et inclus dans V.
g Cf. Ana lyse MPSI, § 4.1.3.
6.5 • Développements en série entière
Unicité du développement en série entière
Soient V E Vrr~ (0), f E e v dSE(O) , L anxn une série entière de rayon R > 0 et
n ;;.O
+oo
U E Vrr~. (O) tels que: Vx E U n Vn] - R ; R[, f(x) = Lanxn .
n=O
Alors/ est de classe C
00 sur U n V n ] - R; R[ et: Vn EN,
Preuve
D'après 6.4 Théorème 2 p. 372, la somme S de la série entière
L anxn est de classe C 00
n;;.O
sur]- R; R[ et: \ln EN, s < lll (O) = n!all.
Comme f et S coïncident sur Un V n] - R; R [ qui est un voisinage de 0 dans IR , il en résulte que f est
C 00 sur Un Vn] - R; R[ et que: \ln E N, J
+oo f(n ) (0)
1) Soient V E VJR (O) , f E eV dSE(O). La relation f (x) = L
xn, qui est
l
n=O
n!
valable sur un voisinage de 0, est appelée le développement en série entière de f en
0 (en abrégé: DSE(O)), ou développement de Mac-Laurin de f
2) Soientxo E IR, VE VJR (Xo),/ E e V dSE (xo).
+oo f(n)(x )
La relation/ (x) = L
0 (x - xo)n, qui est valable sur un voisinage de x 0 , est
n=O
n!
appelée le développement en série entière de f en x 0 (en abrégé : DSE(x 0 ) ), ou
développement de Taylor de f en xo.
Soient V E VJR (0), f E eV dSE(O) , L anxn le DSE(O) de f
n ;;.O
1) Si f est paire, alors le DSE(O) de f est pair, c'est-à-dire :
Vp EN, a2p+ 1 = 0.
2) Si f est impaire, alors le DSE(O) de f est impair, c'est-à-dire :
V p EN, a2p =O.
Preuve
On peut supposer que V est symétrique par rapport à 0, c'est-à-dire: V x E V, - x E V .
V
V
Considérons f : V ----+ C . Il est clair que f est dSE(O) et :
X t---+ f(-X)
v
+ oo
+oo
"lx EV, f(x) = f(-x) = l:::a 11 (-x)
11 = L (- 1)"a 11 x
11
•
n=O
n=O
V
Si f est paire, alors f = f, d'où par unicité du DSE(O) de f: V n E N , an (-l)n =an, et donc :
V p E N, a2p+ 1 = 0.
Raisonnement analogue lorsque f est impaire.
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0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
fJ o.
0
u
Résultat important, faisant le lien entre les
ail et les dérivées successives def en O.
Comme les ail s'expriment en fonction
de f. il ya unicité de (ail )11eN pour f
donnée.
Exercices 6.5.1 , 6.5.2.
Si V n'est pas symétrique par rapport
à 0, on peut remplacer V par un
voisinage W de 0, symétrique par
rapport à 0 et inclus dans V.
g Cf. Ana lyse MPSI, § 4.1.3.
6.5 • Développements en série entière
Unicité du développement en série entière
Soient V E Vrr~ (0), f E e v dSE(O) , L anxn une série entière de rayon R > 0 et
n ;;.O
+oo
U E Vrr~. (O) tels que: Vx E U n Vn] - R ; R[, f(x) = Lanxn .
n=O
Alors/ est de classe C
00 sur U n V n ] - R; R[ et: Vn EN,
Preuve
D'après 6.4 Théorème 2 p. 372, la somme S de la série entière
L anxn est de classe C 00
n;;.O
sur]- R; R[ et: \ln EN, s < lll (O) = n!all.
Comme f et S coïncident sur Un V n] - R; R [ qui est un voisinage de 0 dans IR , il en résulte que f est
C 00 sur Un Vn] - R; R[ et que: \ln E N, J
+oo f(n ) (0)
1) Soient V E VJR (O) , f E eV dSE(O). La relation f (x) = L
xn, qui est
l
n=O
n!
valable sur un voisinage de 0, est appelée le développement en série entière de f en
0 (en abrégé: DSE(O)), ou développement de Mac-Laurin de f
2) Soientxo E IR, VE VJR (Xo),/ E e V dSE (xo).
+oo f(n)(x )
La relation/ (x) = L
0 (x - xo)n, qui est valable sur un voisinage de x 0 , est
n=O
n!
appelée le développement en série entière de f en x 0 (en abrégé : DSE(x 0 ) ), ou
développement de Taylor de f en xo.
Soient V E VJR (0), f E eV dSE(O) , L anxn le DSE(O) de f
n ;;.O
1) Si f est paire, alors le DSE(O) de f est pair, c'est-à-dire :
Vp EN, a2p+ 1 = 0.
2) Si f est impaire, alors le DSE(O) de f est impair, c'est-à-dire :
V p EN, a2p =O.
Preuve
On peut supposer que V est symétrique par rapport à 0, c'est-à-dire: V x E V, - x E V .
V
V
Considérons f : V ----+ C . Il est clair que f est dSE(O) et :
X t---+ f(-X)
v
+ oo
+oo
"lx EV, f(x) = f(-x) = l:::a 11 (-x)
11 = L (- 1)"a 11 x
11
•
n=O
n=O
V
Si f est paire, alors f = f, d'où par unicité du DSE(O) de f: V n E N , an (-l)n =an, et donc :
V p E N, a2p+ 1 = 0.
Raisonnement analogue lorsque f est impaire.
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