Chapitre 6 • Séries entières
Exercice
:. ~~ On considère la série entière L (sin )n) xn, x E R
n;;. I
a) Déterminer le rayon R.
b) Etudier la convergence en - R et R.
c) En notant S la somme, étudier la continuité de S.
d) Montrer: (1 - x) S(x) ------+ O.
X --> J6.5 Développements en série entière
Dans tout ce§ 6.5, la variable, notée x , est réelle.
6.5.1
Généralités
'(
Rappelons que V E Vit (0) signifie que
\1) V est un voisinage de O,c'est-à-dire qu'il
existea E IR~ tel quel - a; a [ C V.
1) Soient VE Vrr~(O), f E ev. On dit que/ est développable en série entière (cen- 'I
trée) en 0 (en abrégé : dSE(O)) si et seulement s'il existe une série entière L anxn
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
376
+oo
Ainsi,/ (x) et L a 11 x" sont définis et
n=O
coïncident au moins sur un voisinage
de O.
On se ramène en 0 par un changement
de variable.
n ;;.O
de rayon noté R et U E VIR (0) tels que :
{
R >O
V x E Un Vn] - R ; R [,
+oo
f(x) = I>nx n.
n=O
2) Soient x 0 E ~. V E VIR (x 0 ), f E ev. On dit que f est développable en série
entière (centrée) en xo (en abrégé : dSE (x o) ) si et seulement s'il existe une série
entière L antn de rayon noté R et U E VJR (Xo) tels que :
n;;.o
+oo
{
R > O
V x E Un Vn ]xo - R; xo + R[, f(x) = Lan(x-xo)n.
n=O
Remarques:
1) La notion de fonction dSE (xo) est une propriété locale: si f est dSE (xo) et s'il existe
W E VIR (xo) tel que f et g coïncident sur W, alors g est dSE (xo).
2) Avec les notations de la Définition l ,jest dSE (xo) si et seulement si t ~ f(x 0 + t) est
dSE (0). Nous allons donc nous intéresser principalement à la notion de fonction dSE (0).
3) Pour tout xo de IR, tout polynôme Pest dSE(xo). En effet, d'après la formule de Taylor pour
les polynômes (cf. Algèbre MPSI, 5.1.7 Th.) ou d'après la formule de Taylor avec reste intégral
(cf.2.3.10Théorème),on a:
'V X E JR. ,
deg(P) p (nl (xo)
. + oo pCnl(xo)
P(x) = L
· (x -xot = L
(x -xo)".
11=0
n!
n=O
n!