b) Montrer que, pour tout t E IR, la série numérique " ' a,, t" converge. On note :
~n' n ~O .
c) Établir :
+oo
L
a,,
g : lR -----+ JR, t 1------+ g (t) =
- {
11
•
n'
11= 0
.
6.4 • Régularité de la somme d'une série entière
r
00
1 ( 1)
V p E ]l; +oo[, Jo
e-P
1 g(t)dt = -pf p .
Solution
Par hypothèse, il existe M E lR+ tel que: V n E N, la,, I ~ M.
a) Puisque V n E N, la 11 I ~ M et que le rayon de la série entière LM z" est 1, par
n ~O
théorème de comparaison, la série entière L a,,x" est de rayon ;:;:: 1.
,, ~o
Sa somme f est donc défi nie, au moins, sur ] - 1; 1 [.
b) Puisque : V n E N, 1 a,, 1 ~ M et que le rayon de la série entière
n!
n!
L
M 11
-X
ni
11 ~ 0
.
est +oo, par théorè me de comparaison, la série entière La" x" est de rayon +oo.
n;;,o n!
Sa somme g est donc définie sur IR.
c) Soitp E ]l ; +oo[ fixé.
Notons, pour tout n E N :
a
h ,, : [O; +oo[ -----+ IR, t 1------+ h,,(t ) = e -pt _::_ t".
n!
•Pour tout n E N, h,, est continue par morceaux car continue sur [0; +oo[, et intégrable
Conseils
La suite (a 11 )11 ;;:0 est bornée.
Cf.§ 6.1.3 Prop. 1.
sur [O; +oo[ car t
2 h,, (t) = e -pt a" t
11 +
2
-----+
O, donc h 11 (t) = o (22
) .
Prépondérance classique.
n !
t -----. + oo
t -----> +oo t
•La série d'applications L h 11 converge simplement sur [O; +oo[ et a pour somme
n ~O
S: t 1------+ e-pt g(t).
• S est continue par morceaux (car continue) sur [0; +oo[.
• On a, pour tout n E N :
1
+oo
1+oo la 1 la 1 1+
00
lh,,(t)l dt =
e - pt_" t"dt = -
11
e - P' t" dt
o
o
n!
n! o
_ l a11 l 1+ oo _,, (u)" 1 d _ l a11 I 1+oo _,, "d
- -
e
-
- u- - - -
e u u
n ! o
p
p
n!pn+I o
l a11 I
la,, I
1 la,, I
= - - f(n+ 1) = -
= - - .
n!pn+ l
pn+I
p p"
1
( 1 )"
D'après a), comme - E JO; 1 [, la série L la,, 1 - converge.
P
11;;,o
P
On peut donc appliquer le théorème du Cours sur série d'applications et intégration
r+ oo +oo
sur un intervalle quelconque, ce qui permet de permuter J o
et L · d'où :
0
11= 0
r+
00
e - pl g(t) dt = r+
00
( ~ hn (t)) dt = ~ r+
00
h,, (t ) dt
Jo
Jo n=O
n=O Jo
+ oo 1 ( 1 )"
1 ( 1 )
= L - an -p = -p f _ p. .
11 = 0 p
g est continue sur JR comme somme d'une
série entière de rayon infini.
Changement de variable u = pt, p fixé.
Intervention de la fonction r d'Euler.
Rappel :V n EN, f (n + ! ) = n!.
On obtient
h,, (t) dt = - _::_ , comme
1
+
00
1 a
0
pp"
roo
plus haut pour Jo lh,, (t) 1 dt.
375
~n' n ~O .
c) Établir :
+oo
L
a,,
g : lR -----+ JR, t 1------+ g (t) =
- {
11
•
n'
11= 0
.
6.4 • Régularité de la somme d'une série entière
r
00
1 ( 1)
V p E ]l; +oo[, Jo
e-P
1 g(t)dt = -pf p .
Solution
Par hypothèse, il existe M E lR+ tel que: V n E N, la,, I ~ M.
a) Puisque V n E N, la 11 I ~ M et que le rayon de la série entière LM z" est 1, par
n ~O
théorème de comparaison, la série entière L a,,x" est de rayon ;:;:: 1.
,, ~o
Sa somme f est donc défi nie, au moins, sur ] - 1; 1 [.
b) Puisque : V n E N, 1 a,, 1 ~ M et que le rayon de la série entière
n!
n!
L
M 11
-X
ni
11 ~ 0
.
est +oo, par théorè me de comparaison, la série entière La" x" est de rayon +oo.
n;;,o n!
Sa somme g est donc définie sur IR.
c) Soitp E ]l ; +oo[ fixé.
Notons, pour tout n E N :
a
h ,, : [O; +oo[ -----+ IR, t 1------+ h,,(t ) = e -pt _::_ t".
n!
•Pour tout n E N, h,, est continue par morceaux car continue sur [0; +oo[, et intégrable
Conseils
La suite (a 11 )11 ;;:0 est bornée.
Cf.§ 6.1.3 Prop. 1.
sur [O; +oo[ car t
2 h,, (t) = e -pt a" t
11 +
2
-----+
O, donc h 11 (t) = o (22
) .
Prépondérance classique.
n !
t -----. + oo
t -----> +oo t
•La série d'applications L h 11 converge simplement sur [O; +oo[ et a pour somme
n ~O
S: t 1------+ e-pt g(t).
• S est continue par morceaux (car continue) sur [0; +oo[.
• On a, pour tout n E N :
1
+oo
1+oo la 1 la 1 1+
00
lh,,(t)l dt =
e - pt_" t"dt = -
11
e - P' t" dt
o
o
n!
n! o
_ l a11 l 1+ oo _,, (u)" 1 d _ l a11 I 1+oo _,, "d
- -
e
-
- u- - - -
e u u
n ! o
p
p
n!pn+I o
l a11 I
la,, I
1 la,, I
= - - f(n+ 1) = -
= - - .
n!pn+ l
pn+I
p p"
1
( 1 )"
D'après a), comme - E JO; 1 [, la série L la,, 1 - converge.
P
11;;,o
P
On peut donc appliquer le théorème du Cours sur série d'applications et intégration
r+ oo +oo
sur un intervalle quelconque, ce qui permet de permuter J o
et L · d'où :
0
11= 0
r+
00
e - pl g(t) dt = r+
00
( ~ hn (t)) dt = ~ r+
00
h,, (t ) dt
Jo
Jo n=O
n=O Jo
+ oo 1 ( 1 )"
1 ( 1 )
= L - an -p = -p f _ p. .
11 = 0 p
g est continue sur JR comme somme d'une
série entière de rayon infini.
Changement de variable u = pt, p fixé.
Intervention de la fonction r d'Euler.
Rappel :V n EN, f (n + ! ) = n!.
On obtient
h,, (t) dt = - _::_ , comme
1
+
00
1 a
0
pp"
roo
plus haut pour Jo lh,, (t) 1 dt.
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