-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
Chapitre 6 • Séries entières
Solution
a) Notons, pour tout n EN : a 11 = -.,.----,-r (n + ~)
r(n + 1/ 2)
Pour tout n E N, a 11 existe, a 11 > 0 et on a :
a11
f(n + 1/ 2)
f(n + 3/2)
-----+ O.
n + 1/ 2 1100
D'après la règle de d'Alembert pour les séries entières, on conclut: R = +oo.
b) La somme S de cette série entière est l'application:
+oo
XII
S : IR -----+ IR, x 1------+ S(x ) = L
.
11 = 0 f(n + 1/ 2)
D'après le Cours, S est de classe C
00 sur IR et on peut dériver terme à terme, d'où :
+oo
nx11- 1
V x E IR, S'(x) = L
.
11= 1 rcn + 1/ 2)
Il s'ensuit, pour tout x E IR :
,
+oo
2nx 11
+oo 2(n - 1/ 2 + l / 2)x
11
2x S(x)- L
- I : - - - - -
ll=I r(n + 1/2) ll= I
r(n + 1/ 2)
+oo n - 1 /2
+oo
1
=
2
f,;; r(n + 1/ 2) XII + f,;; r(n + 1/ 2) XII
+oo
1
+oo
1
=2L
x
11 + L
x"
ll= I r (n - 1/2)
n= I r (n + 1/2)
+oo
1
+oo
1
=2L
x "+
1 + L
x
11
11
= 0 f(n + 1/ 2)
11
= 1 f (n + 1/2)
= 2xS(x) + ( S(x ) - f(l
1
/ 2
) )
1
= (2x + l)S(x) - fi'
d'où le résultat voulu.
pe Yé.solu 2
Conseils
Réviser la définition et les propriétés de la
fonction I'd'Euler, cf.§ 3.5.3.
Par commodité, on peut noter n + 1 / 2 au
.
1
lieu den + Ï:' à ne pas confondre avec
n + l
(n + 1)/ 2 qui est -
2
- .
Rappel:
V x E JO; +oo[, I'(x + 1) = xI'(x) .
On peut aussi utiliser la règle de
d'Alembert pour les séries numériques, en
.
,
.
la11+1x
11 + 1 1
fixant x E JR* et en etud1ant
.
la11(x)I
Il est clair que, de même qu'au début de la
solution de a), toutes les séries entières qui
interviennent ici sont de rayon infini.
Rappel:
V x E JO; +oo[. I'(x + !) = xI'(x).
Changement d'indice n ~ n - 1 dans la
première somme.
Rappel : r G) = ../li, cf.§ 3.5.3 Prop.4.
"Bi
Calcul de la transformée de Laplace, en certains points, de certaines fonctions développables en série entière en 0
·;::
>- 0.
o
Soit (a 11 ) 11 eN une suite complexe bornée.
u
374
a) Montrer que, pour tout x E] - 1; 1 [, la série numérique L a,,x" converge. On note :
n~O
+oo
f :]- l; l[-----+ IR, x !----+ f(x) = L:a 11 x
11
•
11=0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
Chapitre 6 • Séries entières
Solution
a) Notons, pour tout n EN : a 11 = -.,.----,-r (n + ~)
r(n + 1/ 2)
Pour tout n E N, a 11 existe, a 11 > 0 et on a :
a11
f(n + 1/ 2)
f(n + 3/2)
-----+ O.
n + 1/ 2 1100
D'après la règle de d'Alembert pour les séries entières, on conclut: R = +oo.
b) La somme S de cette série entière est l'application:
+oo
XII
S : IR -----+ IR, x 1------+ S(x ) = L
.
11 = 0 f(n + 1/ 2)
D'après le Cours, S est de classe C
00 sur IR et on peut dériver terme à terme, d'où :
+oo
nx11- 1
V x E IR, S'(x) = L
.
11= 1 rcn + 1/ 2)
Il s'ensuit, pour tout x E IR :
,
+oo
2nx 11
+oo 2(n - 1/ 2 + l / 2)x
11
2x S(x)- L
- I : - - - - -
ll=I r(n + 1/2) ll= I
r(n + 1/ 2)
+oo n - 1 /2
+oo
1
=
2
f,;; r(n + 1/ 2) XII + f,;; r(n + 1/ 2) XII
+oo
1
+oo
1
=2L
x
11 + L
x"
ll= I r (n - 1/2)
n= I r (n + 1/2)
+oo
1
+oo
1
=2L
x "+
1 + L
x
11
11
= 0 f(n + 1/ 2)
11
= 1 f (n + 1/2)
= 2xS(x) + ( S(x ) - f(l
1
/ 2
) )
1
= (2x + l)S(x) - fi'
d'où le résultat voulu.
pe Yé.solu 2
Conseils
Réviser la définition et les propriétés de la
fonction I'd'Euler, cf.§ 3.5.3.
Par commodité, on peut noter n + 1 / 2 au
.
1
lieu den + Ï:' à ne pas confondre avec
n + l
(n + 1)/ 2 qui est -
2
- .
Rappel:
V x E JO; +oo[, I'(x + 1) = xI'(x) .
On peut aussi utiliser la règle de
d'Alembert pour les séries numériques, en
.
,
.
la11+1x
11 + 1 1
fixant x E JR* et en etud1ant
.
la11(x)I
Il est clair que, de même qu'au début de la
solution de a), toutes les séries entières qui
interviennent ici sont de rayon infini.
Rappel:
V x E JO; +oo[. I'(x + !) = xI'(x).
Changement d'indice n ~ n - 1 dans la
première somme.
Rappel : r G) = ../li, cf.§ 3.5.3 Prop.4.
"Bi
Calcul de la transformée de Laplace, en certains points, de certaines fonctions développables en série entière en 0
·;::
>- 0.
o
Soit (a 11 ) 11 eN une suite complexe bornée.
u
374
a) Montrer que, pour tout x E] - 1; 1 [, la série numérique L a,,x" converge. On note :
n~O
+oo
f :]- l; l[-----+ IR, x !----+ f(x) = L:a 11 x
11
•
11=0