f/J Cf. § 6.2.2 Prop. p. 368.
Dérivation terme à terme pour une série
entière, à l'intérieur de l'intervalle de
convergence.
\[/J Cf.§ 6.1.2 Exemple p.355.
On peut ainsi calculer de proche en
proche les sommes des séries entières
LXn, Lnxn,Ln2x n, ...
n ~ O
11 ~0
n~O
6.4 • Régularité de la somme d'une série entière
Preuve
Puisque les séries entières dérivées successives L a 11 x
11
,
11 ;;,0
' "°' 11 - I
L...,na 11 x
, ... , l..:n(n-1)
11;;, I
... (n - k + l)a 11 x
11 -k ,... ont toutes le même rayon R, les séries d'applications
L (x f-----+ n! a,,x"-k) , k E N , convergent normalement sur toute partie compacte de
11 ;;,k
(n-k)!
B(O; R). D'après, 5.3.5 Th. p. 334, on en déduit que S est de classe C
00 sur] - R ; R[ et que:
,
+oo
, +oo
n !
,
' G11Xn - k_
11=k
11=k (n - k)!
Remarque: On peut résumer le théorème 2, pour une dérivée première, de la façon suivante : on peut dériver terme à terme la somme d'une série entière dans l'intervalle ouvert
] - R; R[:
' d (+oo
)
+oo
d x L llnX11 = L na11X11-l.
n=O
n= I
Exemple:
On a vu que Ja série géométrique L x
11 est de rayon 1 et que :
11;;,0
' +oo
l
'°'xn- -
L
-1-x·
n=O
On en déduit, par dérivation :
' 1
d ( l )
+oo
+oo
--~ = -
- - = L.:nxn-l = L (n + l)x
11
,
(l -x)2
dx 1-x
n= I
n=O
puis, par une récurrence immédiate sur k :
' 1
1 dk ( 1 )
1 +oo
11
+oo (n + k) ! 11
(1- x )k+l=k!dxk 1-x =k!~(n+k) ... (n+l)x =~ k!n! x.
Exemple d'équation différentielle satisfaite par la somme d'une série entière
On considère la série entière L ( 1
) , où la variable x est réelle et r désigne la fonction d'Euler.
n;;,o r n + -
2
x"
a) Déterminer le rayon R de cette série entière. On note S sa somme.
b) Établir:
1
1
' 373