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0
(V)
......
0
N
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..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
372
Chapitre 6 • Séries entières
2) Il se peut que, pour une série entière L anz" de rayon noté R, il n'y ait pas convergence
n;;.O
normale, ni même convergence uniforme, dans le disque ouvert B(O; R), comme le montre
1·exemp1e L: zn.
11 ;;.0
6.4 Régularité de la somme d'une série entière
On intercale un réel r strictement entre
lzol et R.
Utilisation du théorème sur convergence
uniforme et continuité pour une série
d'applications cf.§ 5.3.3 Théorème.
Exercice 6.4.1.
Théorème important.
1) Continuité
Soient Lan z" une série entière, R son rayon, S sa somme. L'app]jcation S est
n ;;.O
continue sur le disque ouvert B(O; R).
Preuve
y
Exemples:
+oo
L'étude étant immédiate lorsque R = 0, nous pouvons
supposer R > 0.
Soit zo E C tel que lzol < R; il existe r E]lzol; R[.
Puisque L:
uniformément) sur B' (0; r) et que chaque application
z 1---+ a,, z" est continue sur B' (0; r) , la restriction de S
à B' (0; r) est continue, et donc, comme zo E B (0; r), S
est continue en zo.
1) L'application z 1---+ L ln n zn est continue sur B(O; 1).
n=1
+oo n
2) L'application z 1---+ L z 2
est continue sur B(O; 1).
n=I n
1
(
z")
Comme L n 2 converge, il y a convergence normale de L z 1---+ n 2 sur B'(O; 1), et
n;;. I
n;;. I
+oo z"
donc z 1---+ L 2 est continue sur B' (0; 1).
n=I n
Comme la théorie de la dérivation n'a pas été développée dans le cadre du programme, pour le
cas des fonctions d'une variable complexe, nous nous limitons, dans la suite de ce § 6.4, au cas
d'une variable réelle, plutôt notée x que z, selon l'usage. En revanche, les coefficients a,, sont, a
priori , complexes.
2) Dérivation, classe coc
Soient L anx
11 une série entière, R son rayon, S sa somme.
n;;.o
On suppose R > O. L'application S est de classe C':>o sur] - R; R[ et:
+oo
n!
Vk EN, Vx E]- R; R[, 5(k)(x) = L
anxn-k_
n=k (n - k)!
5(k) (0)
En particulier: V k EN, llk = k!
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Chapitre 6 • Séries entières
2) Il se peut que, pour une série entière L anz" de rayon noté R, il n'y ait pas convergence
n;;.O
normale, ni même convergence uniforme, dans le disque ouvert B(O; R), comme le montre
1·exemp1e L: zn.
11 ;;.0
6.4 Régularité de la somme d'une série entière
On intercale un réel r strictement entre
lzol et R.
Utilisation du théorème sur convergence
uniforme et continuité pour une série
d'applications cf.§ 5.3.3 Théorème.
Exercice 6.4.1.
Théorème important.
1) Continuité
Soient Lan z" une série entière, R son rayon, S sa somme. L'app]jcation S est
n ;;.O
continue sur le disque ouvert B(O; R).
Preuve
y
Exemples:
+oo
L'étude étant immédiate lorsque R = 0, nous pouvons
supposer R > 0.
Soit zo E C tel que lzol < R; il existe r E]lzol; R[.
Puisque L:
uniformément) sur B' (0; r) et que chaque application
z 1---+ a,, z" est continue sur B' (0; r) , la restriction de S
à B' (0; r) est continue, et donc, comme zo E B (0; r), S
est continue en zo.
1) L'application z 1---+ L ln n zn est continue sur B(O; 1).
n=1
+oo n
2) L'application z 1---+ L z 2
est continue sur B(O; 1).
n=I n
1
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Comme L n 2 converge, il y a convergence normale de L z 1---+ n 2 sur B'(O; 1), et
n;;. I
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+oo z"
donc z 1---+ L 2 est continue sur B' (0; 1).
n=I n
Comme la théorie de la dérivation n'a pas été développée dans le cadre du programme, pour le
cas des fonctions d'une variable complexe, nous nous limitons, dans la suite de ce § 6.4, au cas
d'une variable réelle, plutôt notée x que z, selon l'usage. En revanche, les coefficients a,, sont, a
priori , complexes.
2) Dérivation, classe coc
Soient L anx
11 une série entière, R son rayon, S sa somme.
n;;.o
On suppose R > O. L'application S est de classe C':>o sur] - R; R[ et:
+oo
n!
Vk EN, Vx E]- R; R[, 5(k)(x) = L
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n=k (n - k)!
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En particulier: V k EN, llk = k!