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0
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......
0
N
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0
u
6.2.1 Déterminer le rayon de convergence des séries
entières suivantes :
a)
~ sinn n
L.., - - z
11 ;;,0n2+1
b)
~
cosn
11
L.., .Jn + (-1) 11 z ·
11 ;;,2
6.2.2
Soient L a,, z
11 , L b 11 z" deux séries entières
n;;, I
n;;,1
(à terme constant nul , c'est-à-dire a 0 = b 0 = 0), de rayons
Ç 1 , de sommes notées respectivement A et B.
Etablir, pour tout z de C tel que lzl < 1 :
+oo
+oo
L aµB(zP) = L bqA(zq) .
p=I
q=I
6.3 Convergence
6.3 • Convergence
Exemples:
1) Pour tous a,{J,z de C tels que lal ~ 1 , lfJI ~ 1,
lzl < 1 :
+oo aP-lzp-1
+oo {Jq-lzq-1
L 1 - {JzP = L 1 - azq
p=l
q=l
2) Pour tout z de C tel que lzl < 1 :
+oo
p
+oo
q
~ _z_ = ~(-l)q-J _ Z _
L 1 + zP L
1 - zq
p=l
q=l
+oo
zP
+oo
zq
L (1 _ zP)2 = L q l - zq
p=I
q=I
+oo
p
+oo
q
~
z
= ~(-l)q- lq _z - .
{:! (1 + zP)2 ~
l - zq
En pratique, K est souvent un disque
fermé B' (0; r) où r est un réel tel que
0 ~ r < R.
Soit L a,,z" une série entière de rayon noté R.
n ;;,O
K est inclus dans unebouleferrméede
centre 0, elle-même incluse dans la
boule ouverte de centre 0 et de rayon
R (si R n'est pas +oo ).
La série d'applications
L (z f-----+ a,,z") converge normalement sur toute partie
n ;;,O
compacte K incluse dans le disque ouvert B(O; R).
Preuve:
y
R X
Remarques:
Puisque l'application

compact K,

Tl existe donc r E [0; R[ tel que :
K c B' (O; r) c B(O; R).
Puisque 0 ~ r < R, la série numérique L la,, Ir"
n;;,O
converge.
Comme ('Vn EN, Sup la,,z"I ~ la11lr"),
z EK
il s'ensuit que la série d'applications
L(Z r-+ a,,z") converge normalement sur K. •
n;;,O
"l
Revoir la définition de la convergence
\J., normale pour une série d'applications,
§ 5.3. 1 Déf. S.
7) Soient L a,,z" une série entière, R son rayon, zo E C. Si L a 11 ZÔ est absolument convern;;:O
n;;,O
gente, alors la série d'applications L(z 1-------+ a 11 zn) converge normalement sur B'(O; lzol).
n;;,O
Par exemple, L (z 1-------+ z: ) converge normalement sur B '(O; 1).
11 ;;, l
n
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