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386
Chapitre 6 • Séries entières
Exemple de détermination du rayon de convergence et de la somme d'une série entière
x"
Déterminer le rayon de convergence R et la somme S de la série entière L 2
, où x est une variable réelle.
~o 4n - 1
Solution
1) Rayon:
1
Notons, pour tout n E N : a 11 = 4
n 2
_
1
.
On a, pour tout n EN, a 11 i- 0, et:
donc: R = 1.
2) Somme:
4n
2 - 1
-----+ 1,
4(n + 1 )2 - 1 noo
La somme S de la série entière proposée est :
+oo
x"
S :] - l ; l[-----+ IR, x t------7 S(x) = L
2
•
n=O 4n - 1
Soitx E]-1; l[.
On a, à l'aide d'une décomposition en éléments simples :
S(x) = ' °""
= - ' °"" --- - --- x"
+ oo
x"
1 + oo (
1
1 )
f:o 4n
2 - 1
2 f:o 2n - 1 2n + 1
1 +oo x"
1 +oo x"
- - '"""- - - '"""2 L..,2n- l
2L..,2n+l
fJ =O
n=O
1 +oo x 11 + 1
l +oo
x"
-2 1 1 ~ 1 2n+1-2:?.;2n+l
n ~
= ~ ( - 1 + x ~ 2nx: 1 ) - ~ ~ 2nx: 1 = - ~ + x ;
1
~ 2nx: 1 ·
Notons, pour x E] - l ; l[ :
+oo
x"
A(x)= 2::: - -.
n=O 2n + 1
•Cas: 0 < x < 1
+oo
t2"
Notons t = Jx, de sorte que x = t
2 . On a alors: A(x) = 2::: ---.
n= O 2n + 1
Comme x i- 0, on a t i- 0 et :
1 +oo t2n+I
1
1
A(x) = - 2::: - - = - Argtht = /.; Argth JX .
t n=O 2n + l t
y X
• Cas : -1 < x < 0
Notons t = Fx, de sorte que x = -t
2 • On a alors :
+oo (-t2)n
+oo (-l)"t2"
1 +oo (-l)"t 2n+ I
A(x) =?.; 2n + l =?.; 2n + 1 = t (.; 2n + 1
1
1
= - Arctan t = t-:: Arctan Fx.
t
y-X
Conseils
Règle de d'Alembert pour les séries
entières. On peut aussi appliquer la règle
de d'Alembert pour les séries numériques,
,
.
, la11+1x
11 + 1 1
en etud1ant, pour x E IR* fixe, - - - -
la,.x" I
Toutes les séries entières qui interviennent
ici sont de rayon 1, donc les séries
numériques manipulées, pour x E] - 1; 1 [
fixé, sont convergentes.
Changement d'indice n +--- n - 1 dans la
première sommation.
Cette série entière ressemble au développement en série entière de Argth ou à celui
de Arctan.
On reconnaît le DSE(O) de Argth.
On reconnaît le DSE(O) de Arctan.