Solution
D'après a), le rayon R de la série entière L a,,z" est R =Min (Ra, Rb) = 1.
n ~O
2) En notant, pour tout n E N :
a,, = [ 2
0
11
si n est pair
si n est impair
on a:
et
bll = [
0
3-11
'v'n EN, a,,b 11 =0 et a 11 =a11+h11 .
si n est pair
si n est impair,
1
La série entière L a,,z", abusivement notée L 2 2 Pz 2 P, est de rayon 2
.
11~0
p~O
La série entière Lh 11 z
11
,
abusivement notée L3-< 2 P+
1
lz 2 P+
1 est de rayon
11 ~ 0
p~O
l
D'après a), le rayon R de la série entière La, , z" est R = Min (Ra, Rb) = 2
.
n. ~O
3) En notant, pour tout n E N :
a, ~ 1 ( 1 +o ~ )"'
b,, 1 ( 1-\r'
si n est pair
si n est pair
et
si n est impair,
si n est impair
on a:
'v'n EN, a,,b,, =0 et a 11 =a11+ h11 .
Déterminons le rayon Ra de la série entière L a 11 z
11
,
abusivement notée
n ~ 2
On a, par développement limité, pour tout z E C* fixé, en notant
U2p (Z) = 1 ( } + 2~ r p2 z2pl :
ln u2p(Z) = 4p
2 ln ( l +
2 ~) + 2p ln lzl
~
= 4p
2
( 2 ~ +a(~))+ 2p ln lzl = 2p(l +ln lzl) + o(p).
c
::J
0
(V)
......
~ ~
'"
@~
"
.._, _
..c O' l
.~-al
~ -~
>- ~
o.~
0 "'
Us
<::
1
Si lzl < - , alors 1 + ln lzl < 0, donc lnu 2 p(z) -----+ -OO , U2p(Z)
e
poo
1
Si lzl > - , alors 1 + ln lzl > 0, donc lnu2p (Z) -----+ + oo, U2p ( Z)
e
poo
l
Il en résulte que la série entière L a,, z 11 est de rayon - .
11~ 1
e
De même, on montre que la série entière L b 11 z 11 est de rayon e.
Il
-----+ o.
poo
-----+ +oo.
poo
D'après a), le rayon R de la série entière L a 11 z
11
est donc
Il
6.1 • Rayon de convergence
Conseils
Série géométrique: 2 2 "z 2 " = (4z 2 )"
1
et: 14z
2 1 < 1 {==} lzl < 2·
Série géométrique :
r(2p+l)z2p+I = (r iz)( (rlz)2) ",
et: j(r
1 z)2j < 1 {==}lzl <3.
Détermination du rayon de la série entière
L a 11 z 11 par examen de la nature de la
suite (a 11 z
11
) 11 pour z E C fixé.
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