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364
Chapitre 6 • Séries e ntières
Les méthodes à retenir
Rayon de convergence d'une série entière
Il s'agit de déterminer le rayon de convergence d'une série entière L a"z
11
•
ll ;;,O
• Silan 1 admet un équi valent « simple » Ibn 1 lorsque n te nd vers l'infini , alors (cf. § 6. l.3 Prop. 3 p. 356), les séries
entières L llnZn et L hnZ
11 ont le même rayon de convergence. L'obtention d ' un équivalent de lan 1 peut que ln;;,o
n;;,O
quefois nécessiter un calcul de développement limité, lorsque lan 1 se présente comme différence d 'expressions
ana logues entre elles (ex. 6.1. 1 a), j), x)).
• Si on arrive à majorer lan 1 par un terme plus simple, lan 1 :::;; Ibn I, alors (cf. § 6 .1.3 P rop. 1 p. 356), le rayon de
convergence de L a 11 zn est supérieur ou égal au rayon de convergence de L b 11 zn.
n;;,O
n;;,O
• Si on arrive à minorer lan 1 par un terme plus simple, lan 1 ? Ibn I, alors (cf. § 6.1.3 Prop. 1 p. 356), le rayon de
convergence de L anzn est inférieur ou égal au rayon de convergence de L bnzn. U ne combinaison des deux
n;;,O
n;;,O
points précédents permet quelquefois d ' obtenir le rayon (ex. 6.1.1 k)) .
• La règle de d'Alembert peut être commode, lorsque an contient des expone ntielles ou des factorielles
(ex. 6. 1.1 s)); e lle peut être assez souvent appliquée après une prise d 'équivalent (ex. 6. 1.1 b),J)).
• S i la 11 1 n'admet pas d 'équivalent simple et si la règle de d'Alembe rt ne paraît pas applicable ou peu commode à
appliquer (ex. 6.1.1 e) à i)), on peut se ramener à étudier, pour z E C* fi xé, la nature de la suite (la 11 zn l)n en fonction de z. Si on trouve un réel R ? 0 tel que :
- pour tout z E C tel que lzl < R , a 11 zn ----* 0
1100
- pour tout z E C , te l que lz 1 > R , la suite (anz
11
) n'est pas bornée,
alors le rayon de convergence de la série entière L anzn est égal à R.
n;;,O
Pour étudier la nature de la suite (lanz
11 1) 11 , on pourra comme ncer par étudier la nature de la suite
(lnlanl + n lnl zl) 11 puis composer par l' exponentielle.
• On sera attentif aux calculs dans les exemples, assez nombreux, comportant une double exponentiation (ex. 6.1.1
u), i
1
), k' ) ... ).
• Rappe lons que, pour une série entière L a 11 z
11
, de rayon noté R, on a:
n;;,O
- s' il existe z 1 E C tel que anz'i1 ----* 0, alors R ? lz 11
noo
- s'il existe z2 E C tel que anz~+ 0 , alors R :::;; lz2I .
11 00
• Une série entière a le même rayon de convergence que sa série entière-dérivée (voir plus loin § 6.2.2 Prop.
p. 368) .
• Dans la résolution d'exercices théoriques portant sur le rayon de convergence d ' une série entière (ex. 6. 1.7 à
6. l. 10), se rappeler que la règle de d 'Alembert n' est qu' une condition suffisante et n'est donc pas, a priori, utilisable . Par exemple, la série entière L (2 + ( - l)'1)z
11 est de rayon 1 et cependant, 1an+
1
1 (où a 11 = 2 + (- l)n)
n~
~
n' a pas de limite quand n tend vers l'infi ni .
• Les exerc ices 6. 1.12 et 6. l. 13 étudient le comporte ment de la somme d ' une série entière au voisinage d' un point
du cercle de convergence, et sont très utiles pour la résolution d'autres exerc ices (voir plus loin, ex. 6.5. 21 à
6.5.24).
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Rayon de convergence d'une série entière
Il s'agit de déterminer le rayon de convergence d'une série entière L a"z
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• Silan 1 admet un équi valent « simple » Ibn 1 lorsque n te nd vers l'infini , alors (cf. § 6. l.3 Prop. 3 p. 356), les séries
entières L llnZn et L hnZ
11 ont le même rayon de convergence. L'obtention d ' un équivalent de lan 1 peut que ln;;,o
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quefois nécessiter un calcul de développement limité, lorsque lan 1 se présente comme différence d 'expressions
ana logues entre elles (ex. 6.1. 1 a), j), x)).
• Si on arrive à majorer lan 1 par un terme plus simple, lan 1 :::;; Ibn I, alors (cf. § 6 .1.3 P rop. 1 p. 356), le rayon de
convergence de L a 11 zn est supérieur ou égal au rayon de convergence de L b 11 zn.
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• Si on arrive à minorer lan 1 par un terme plus simple, lan 1 ? Ibn I, alors (cf. § 6.1.3 Prop. 1 p. 356), le rayon de
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n;;,O
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• La règle de d'Alembert peut être commode, lorsque an contient des expone ntielles ou des factorielles
(ex. 6. 1.1 s)); e lle peut être assez souvent appliquée après une prise d 'équivalent (ex. 6. 1.1 b),J)).
• S i la 11 1 n'admet pas d 'équivalent simple et si la règle de d'Alembe rt ne paraît pas applicable ou peu commode à
appliquer (ex. 6.1.1 e) à i)), on peut se ramener à étudier, pour z E C* fi xé, la nature de la suite (la 11 zn l)n en fonction de z. Si on trouve un réel R ? 0 tel que :
- pour tout z E C tel que lzl < R , a 11 zn ----* 0
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- pour tout z E C , te l que lz 1 > R , la suite (anz
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alors le rayon de convergence de la série entière L anzn est égal à R.
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Pour étudier la nature de la suite (lanz
11 1) 11 , on pourra comme ncer par étudier la nature de la suite
(lnlanl + n lnl zl) 11 puis composer par l' exponentielle.
• On sera attentif aux calculs dans les exemples, assez nombreux, comportant une double exponentiation (ex. 6.1.1
u), i
1
), k' ) ... ).
• Rappe lons que, pour une série entière L a 11 z
11
, de rayon noté R, on a:
n;;,O
- s' il existe z 1 E C tel que anz'i1 ----* 0, alors R ? lz 11
noo
- s'il existe z2 E C tel que anz~+ 0 , alors R :::;; lz2I .
11 00
• Une série entière a le même rayon de convergence que sa série entière-dérivée (voir plus loin § 6.2.2 Prop.
p. 368) .
• Dans la résolution d'exercices théoriques portant sur le rayon de convergence d ' une série entière (ex. 6. 1.7 à
6. l. 10), se rappeler que la règle de d 'Alembert n' est qu' une condition suffisante et n'est donc pas, a priori, utilisable . Par exemple, la série entière L (2 + ( - l)'1)z
11 est de rayon 1 et cependant, 1an+
1
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n' a pas de limite quand n tend vers l'infi ni .
• Les exerc ices 6. 1.12 et 6. l. 13 étudient le comporte ment de la somme d ' une série entière au voisinage d' un point
du cercle de convergence, et sont très utiles pour la résolution d'autres exerc ices (voir plus loin, ex. 6.5. 21 à
6.5.24).