-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
362
Chapitre 6 • Séries entières
Séries entières disjointes
a) Soient L a,,z", L b,,z" deux séries entières, Ra, Rb leurs rayons respectifs. On suppose que ces deux séries entières sont disjointes, c'est-à-dire telles que : V n E N, a,,b,, =O.
Montrer que le rayon R de la série entière L(a 11 + b 11 )z" est: R =Min (Ra, Rb).
n ~O
b) Exemples: Déterminer le rayon des séries entières L a,, z" suivantes :
Il
/)a.~ E
si n est pair
si n est impair
1 2"
si n est pair
2) a"=
3 -11
si n est impair
(
(-1)")"2
c) a,,= 1 + -nSolution
a) • Soit z E IC tel que lzl < Min (R 0 ,Rb). Alors, lzl < Ra et lzl < Rb, donc les
séries numériques L a 11 z" et L b 11 z
11 convergent. On en déduit, par addition, que
n;.>,-0
n ~O
la série numérique L (a 11 + b 11 )z 11 converge, et donc lzl ~ R.
n
Il en résulte: Min (Ra, Rb) ~ R.
•Soit z E IC tel que lzl > Min (Ra.Rb).
On peut supposer, par exemple, lzl > Ra.
Il en résulte que la suite (a 11 z
11
) 11 n'est pas bornée.
Comme:'VnE N, (a 11 =0 ou b,,=0) , ona:
Vn EN, l(a" + b,,) z" I = la11z" + b11z" I = la11 z" I + lb11z"I ~ la,,z"I.
On en déduit que la suite ((a 11 + b 11 )z
11
)
11
n'est pas bornée, et donc lzl ~ R.
Il en résulte : Min (Ra, Rb) ~ R.
On conclut: R =Min (R 0 ,Rb)·
b) 1) En notant, pour tout n E N :
et
si n est impair,
si n est pair
a"= 1 ~
si n est pair
si n est impair
on a:
V n EN, a,,b,, = 0 et a 11 = a 11 + b,,.
La série entière L a 11 z
11 est abusivement notée L 2pz
2
P .
Il~
p~
Il est clair que son rayon Ri, est égal à 1.
1
La série entière Lb,,z'' est abusivement notée L---z
2
P+
1
.
2p + 1
11~0
p~O
Il est clair que son rayon Rb est égal à 1.
Conseils
Voir aussi, plus loin, l'étude du rayon de
convergence de la série entière somme de
deux séries entières,§ 6.2.1 Pro p. 2.
Rôles symétriques de R 0 et Rb.
Il y a bien égalité là où l'on attendrait
l'inégalité triangulaire, car, pour tout n E N,
a 11 = 0 OU b 11 = O.
On supprime de la série entière les termes
nuls.
Par la règle de d'Alembert pour les séries
numériques.
On supprime de la série entière les termes
nuls.
Par la règle de d'Alembert pour les séries
numériques.
....._
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
362
Chapitre 6 • Séries entières
Séries entières disjointes
a) Soient L a,,z", L b,,z" deux séries entières, Ra, Rb leurs rayons respectifs. On suppose que ces deux séries entières sont disjointes, c'est-à-dire telles que : V n E N, a,,b,, =O.
Montrer que le rayon R de la série entière L(a 11 + b 11 )z" est: R =Min (Ra, Rb).
n ~O
b) Exemples: Déterminer le rayon des séries entières L a,, z" suivantes :
Il
/)a.~ E
si n est pair
si n est impair
1 2"
si n est pair
2) a"=
3 -11
si n est impair
(
(-1)")"2
c) a,,= 1 + -nSolution
a) • Soit z E IC tel que lzl < Min (R 0 ,Rb). Alors, lzl < Ra et lzl < Rb, donc les
séries numériques L a 11 z" et L b 11 z
11 convergent. On en déduit, par addition, que
n;.>,-0
n ~O
la série numérique L (a 11 + b 11 )z 11 converge, et donc lzl ~ R.
n
Il en résulte: Min (Ra, Rb) ~ R.
•Soit z E IC tel que lzl > Min (Ra.Rb).
On peut supposer, par exemple, lzl > Ra.
Il en résulte que la suite (a 11 z
11
) 11 n'est pas bornée.
Comme:'VnE N, (a 11 =0 ou b,,=0) , ona:
Vn EN, l(a" + b,,) z" I = la11z" + b11z" I = la11 z" I + lb11z"I ~ la,,z"I.
On en déduit que la suite ((a 11 + b 11 )z
11
)
11
n'est pas bornée, et donc lzl ~ R.
Il en résulte : Min (Ra, Rb) ~ R.
On conclut: R =Min (R 0 ,Rb)·
b) 1) En notant, pour tout n E N :
et
si n est impair,
si n est pair
a"= 1 ~
si n est pair
si n est impair
on a:
V n EN, a,,b,, = 0 et a 11 = a 11 + b,,.
La série entière L a 11 z
11 est abusivement notée L 2pz
2
P .
Il~
p~
Il est clair que son rayon Ri, est égal à 1.
1
La série entière Lb,,z'' est abusivement notée L---z
2
P+
1
.
2p + 1
11~0
p~O
Il est clair que son rayon Rb est égal à 1.
Conseils
Voir aussi, plus loin, l'étude du rayon de
convergence de la série entière somme de
deux séries entières,§ 6.2.1 Pro p. 2.
Rôles symétriques de R 0 et Rb.
Il y a bien égalité là où l'on attendrait
l'inégalité triangulaire, car, pour tout n E N,
a 11 = 0 OU b 11 = O.
On supprime de la série entière les termes
nuls.
Par la règle de d'Alembert pour les séries
numériques.
On supprime de la série entière les termes
nuls.
Par la règle de d'Alembert pour les séries
numériques.
....._