Chapitre 6 • Séries entières
g Cas de séries entières « à trous ».
On fixe z et on étudie le rapport de
deux termes consécutifs de la série
considérée.
Q Changement de variable Z = z 4 .
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
358
3
La position de 1Z1 par rapport à 2
correspond à la position de lzl par
1
rapport à ( ~)
4
.
On fixe z et on étudie le rapport de
deux termes consécutifs de la série
numérique considérée.
Exercices 6.1.1 à 6.1.S.
~
(1 sin ( n + 1) 1 )
-
Par exemple, L sin n z" est de rayon 1, et
.
n'a pas de limite dans IR+
n;;,o
srn n
n;;, 1
2) La règle de d'Alembert pour les séries entières est inapplicable aux séries entières du type :
L anz
2
",
n;;,O
~
/12
L anz , . . .
11;;,0
En vue de déterminer le rayon d'une telle série entière, on pourra essayer :
• soit d'appliquer la règle de d'Alembert pour les séries numériques en fixant z
• soit d'effectuer un changement de variable, du type Z = z 2 .
Exemples:
~
1
,
J) Rayon R de L - , - - z-"?
""'on-+ 1
l
2 (11+ 1)
z
n2 + 1
2
2
Pour z E C* fi xé :
(n + 1)2 + 1
1
- - - z2n
rz 2 + l
--~- l z l ~ l z l
(n + 1)2 + 1
11 00
1
Donc, si lzl < 1 (resp. lzl > 1), alors L:- 2 - - z
2 n converge (resp. diverge), d'après la
n;;,O n + 1
règle de d'Alembert pour les séries numé riques.
On conclut : R = l .
2"
2) Rayon R de ~ - - :
411 ?
L 3 11 +n
f1 ?-0
2n
C onsidérons la série entière ~ - - - Z
11 (obtenue en posant Z = z 4 ). Comme
~3n+ n
- - - ~ -
e t que le rayon de la série e ntière géométrique ~ -
zn est - , on
2
11
(2)
11
(2)
11
3
3 11 + n 1100 3
L
3
2
n;;,O
2 11
3
déduit (cf. 6. 1.3 Proposition 3 p. 356) que le rayon de ~ - - Z" est - .
Lo 3n + n
2
11 ~
Soit z E C.
(
3) !
3
•Si lzl < 2 , alors lz
4 1 < 2 , donc
~ 2"
411
L 311 + n z
converge.
11 ;;,0
• Si lzl > (~) !' alors lz
4 1 > ~' donc
2"
~ - - - z 411 diverae.
L 3n + n
"'
n;;,O
On conclut : R = (~) !
Pour cet exemple, on aurait pu aussi utiliser la méthode de l'exemple 1) précéde nt.
L
1 ,,
3) Rayon R de
- Z- ?
2"
n ~O
Soit z E C* ; on a :
l
2" + 1
- -z
2n+ I
1 2"
2" z
= ~ lzl 2 " ~ { O
2
noo +oo
si lzl < 1
si lzl > 1
En appliquant la règle de d'Ale mbert pour les séries numériques, on conclut : R = 1 .
g Cas de séries entières « à trous ».
On fixe z et on étudie le rapport de
deux termes consécutifs de la série
considérée.
Q Changement de variable Z = z 4 .
-0
0
c
::J
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(V)
......
0
N
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..._,
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3
La position de 1Z1 par rapport à 2
correspond à la position de lzl par
1
rapport à ( ~)
4
.
On fixe z et on étudie le rapport de
deux termes consécutifs de la série
numérique considérée.
Exercices 6.1.1 à 6.1.S.
~
(1 sin ( n + 1) 1 )
-
Par exemple, L sin n z" est de rayon 1, et
.
n'a pas de limite dans IR+
n;;,o
srn n
n;;, 1
2) La règle de d'Alembert pour les séries entières est inapplicable aux séries entières du type :
L anz
2
",
n;;,O
~
/12
L anz , . . .
11;;,0
En vue de déterminer le rayon d'une telle série entière, on pourra essayer :
• soit d'appliquer la règle de d'Alembert pour les séries numériques en fixant z
• soit d'effectuer un changement de variable, du type Z = z 2 .
Exemples:
~
1
,
J) Rayon R de L - , - - z-"?
""'on-+ 1
l
2 (11+ 1)
z
n2 + 1
2
2
Pour z E C* fi xé :
(n + 1)2 + 1
1
- - - z2n
rz 2 + l
--~- l z l ~ l z l
(n + 1)2 + 1
11 00
1
Donc, si lzl < 1 (resp. lzl > 1), alors L:- 2 - - z
2 n converge (resp. diverge), d'après la
n;;,O n + 1
règle de d'Alembert pour les séries numé riques.
On conclut : R = l .
2"
2) Rayon R de ~ - - :
411 ?
L 3 11 +n
f1 ?-0
2n
C onsidérons la série entière ~ - - - Z
11 (obtenue en posant Z = z 4 ). Comme
~3n+ n
- - - ~ -
e t que le rayon de la série e ntière géométrique ~ -
zn est - , on
2
11
(2)
11
(2)
11
3
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L
3
2
n;;,O
2 11
3
déduit (cf. 6. 1.3 Proposition 3 p. 356) que le rayon de ~ - - Z" est - .
Lo 3n + n
2
11 ~
Soit z E C.
(
3) !
3
•Si lzl < 2 , alors lz
4 1 < 2 , donc
~ 2"
411
L 311 + n z
converge.
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• Si lzl > (~) !' alors lz
4 1 > ~' donc
2"
~ - - - z 411 diverae.
L 3n + n
"'
n;;,O
On conclut : R = (~) !
Pour cet exemple, on aurait pu aussi utiliser la méthode de l'exemple 1) précéde nt.
L
1 ,,
3) Rayon R de
- Z- ?
2"
n ~O
Soit z E C* ; on a :
l
2" + 1
- -z
2n+ I
1 2"
2" z
= ~ lzl 2 " ~ { O
2
noo +oo
si lzl < 1
si lzl > 1
En appliquant la règle de d'Ale mbert pour les séries numériques, on conclut : R = 1 .