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Ol
·;:
>- 0.
0
u
'
-
Si i = +oo, alors ilzl = +oo car
lzl > O.
Cette situation est très fréquente en
pratique.
Détermination d'un équivalent simple
de la11I ·
Application de la règle de d'Alembert
pour la série entière I: [ ~ [ na- f3z
11
•
Il
µ,
Il se peut qu'on ne puisse pas appliquer
la règle de d'Alembert pour les séries
entières ni la règle de d'Alembert pour les
séries numériques.
6.1 • Rayon de convergence
Règle de d'Alembert pour les séries entières
Soit L anzn une séri. e entière.
n ~O
S'il existe N E N tel que : { V(nl an ;:;:+N1 1' ) an # O
- -
admet une limite e dans i+,
an
n ~ N
1
1
l alors le rayon R de L anz" est
n ~ O
1
R=e
(où, par convention, - = oo et - = 0).
Û
OO
Preuve
Soient z E l
an +i z"+ I I = la"+
1
l lzl--+ f lzl (dans IR+).
a 11 z
11
a 11
1100
.
1
• S1 lzl < f' alors flzl < 1 donc, d'après la règle de d'Alembert pour les séries numériques, la série
L anz" converge.
n ~O
1
•Si lzl > e' alors la série Lanz'' diverge.
n;;>O
1
D'après 6. l.2 Corollaire p. 354, on conclut R = f .
•
Soit L an zn une série entière telle qu'il existe une fraction rationnelle F de
n
C(X) - {O} telle que: V n, an = F(n).
Alors le rayon de L an zn est 1.
n
Preuve
.
2
p
Il existe (P , Q) E ( En notant >..xa (resp. µX/J) le terme de plus haut degré de P (resp. Q ), on a:
lanl ~ 1 ~1 na-/J _
noo µ,
Comme
(n + l)a- /J (
1 )a-/ J
,,
= 1 + -
----+ l , le rayon de
na- ,.,
n
noo
est l (règle de
d'Alembert pour les séries entières), et donc le rayon de L an Z
11 est aussi l (6.l.3 Proposition 3 p. 356).
Exemples:
Les séries entières L z
11
,
n ~O
Remarques:
L:nz",
n;;,O
1) Soit L:a 11 z
11 une série entière.
n
n
'"" 1 n
~ -z'
n ~ I n
'"" n
2
- n + 3 n
~ 2n3 + n+n z
n ~ O
sont de rayon 1.
Si (1 a::
1
1)
11
n'a pas de limite (dans IR+), la règle de d'Alembert pour les séries entières est
inapplicable.
357