Chapitre 6 • Séries entières
Autrement dit, dans la Proposition 1,
on peut remplacer l'hypothèse par :
la 11 I :( lb11 I à partir d'un certain rang.
~ Propriété utile en pratique.
Revoir la définition de «grand 0 »,
§ 2.4.1 Déf. 2.
~ Proposition très utile en pratique.
\J On utilise la Prop. 2.
~ L(e but e
1
st)d
1
:obtenir un équivalent de
~ 1 + ;; - e lorsque n tend vers
0
l'infini ; à cet effet, on passe par des
~
développements limités.
O
Rappel : ex - 1 ~ x, et on remplace
x->0
u
xpar- - +o - .
1 ( 1)
_:C
2n
n
Ol
·;::
>- 0.
0
u
356
Cf.§ 4.2.4 3) Théorème.
6.1.4
Remarque: Il est clair que, dans la Proposition 1 précédente, on peut remplacer l'hypothèse
par:
3N EN, Vn E N, (n ~ N ~ lan l :( lbnl).
Soient L anzn , L bnzn deux séries entières de rayons respectivement notés
ll) Ü
ll ) Ü
Ra, Rb.
Si an = 0 (bn), alors Ra ~ Rb.
noo
Preuve
Par hypothèse, il existe N E N et M E IR+ tels que : V n ~ N , lan 1 :( M Ibn III est clair que L M bn zn est de rayon ~ Rb (cf. aussi plus loin 6.2.1 Proposition 1 p. 367). On conclut,
n ;;,O
en utilisant la Proposition l : Ra ~ Rb.
•
~
oient L anz'
1
, L bnz'
1 deux séries entières de rayons respectivement notés Ra , Rb.
n ) O
n ) O
Si lan l 11 ~ lbnl, alors Ra= Rb.
J
1 ~ ....
l
lanl = 0 (lbnl)
lan l ~ lbn l ~
noo
noo
Ibn 1 = 0 (lan 1)
noo
Exemples:
1) Rayon R de L e ,;n
11 2" ?
n~O
Ona: VnE N, e- 1 :( e5În
11 :( e.
•
Comme L e - I zn et L ez
11 sont de rayon 1, on conclut, en utilisant la Proposition 1
n ) O
n ) O
1 ~ R ~ 1, donc R = 1 .
2) Rayon R de ~ ( ( 1 + ~ )" - e ) z" ?
On a:
d'où:
l
Comme L -z" est de rayon 1, on conclut, en utilisant la Proposition 3 : R = 1.
n ) l n
Règle de d'Alembert
Rappelons d'abord la règle de d'Alembert pour les séries numériques.
Soit Lu, , une série à termes réels > 0. On suppose que la suite ( u
11 +
1 )
admet une limi11 ;;.0
Un
n ) O
te finie f dans IR+ .
1) Si e < 1, alors L Un converge
11) 0
2) Si e > 1, alors L Un diverge.
11 ) 0