Exemple fondamental.
On appelle série géométrique
indifféremment les deux séries entières
l:::z" et l:::a"z",a E C fixé.
n~O
n ~O
Dans les exemples 2) et 3), pour trouver
le rayon, il suffit d'examiner le
comportement (convergence, divergence)
de la suite (a 11 z
11
) 11 •
,.
Cf.Analyse MPSl,exercice 3.1.14: pour tout
\J.-. a E lR fixé tel que~ ri. Z , les suites
n
(cos(na))11 "'0 et (sin (na))11"'0 sont
toutes deux divergentes.
Exercices 6.1.6 à 6.1.11 .
"(
Dans le cas particulier R = 0, on peut
\J..... appeler somme de la série entière
L a,, z" l'application triviale
n~O
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
{O) -)- c.
Exemple très important.
Exercices 6.1.12, 6.1 .13.
6.1.3
Proposition très utile en pratique.
Remarquer le renversement d'inégalité.
Intuitivement, plus les coefficients sont
petits (en modules), plus la série a des
chances de converger .
La comparaison des rayons s'obtient à
l'aide d'une inclusion d'intervalles
(commençant en O),ou d'une inclusion
de disques centrés en O.
6.1 • Rayon de convergence
Exemples:
l) Série géométrique
1
Soit a E C* . La série entière Lan z", appelée série géométrique, admet pour rayon - .
n"'O
lai
2) Rayon de L e _r;, z" ?
n ~O
Soit z E C*. Comme le-Jn z" 1 = exp(-,.jïï + nlnlzl), on a :
l
lz l < 1=?le-Jnz"I-;;-;;;;0
lz l > 1 =? le- Jnznl-;;-;;;; +oo.
On conclut, d'après le Corollaire p. 354 : R = 1.
3) Rayon de L sin n z." '!
Soit z E C.
•Si lzl < 1, alors (Vn E N, lsinn z" I ~ lzl"),etdonc sinn z"--+0. noo
•Pour z = l : sinn z" = sinn ~ 0, donc L sinn zn diverge.
noo
""'o
On conclut, d'après le Corollaire p. 354 : R = 1 .
Soient L anzn une série entière, R son rayon. On appelle somme de la série entièn"'o
re L anzn l'application S : {z E C; lzl < R} ---+ C définie par:
n"'O
l
+oo
S(z) = L anzn.
n=O
Exemple: Série géométrique : V z E C, (
+
00
1 )
lzl < 1 =? L z" = - - (cf. 4.2.4 1)).
1 - z
n=O
Comparaisons de rayons
L anz
11
, L bnzn deux séries entières de rayons respectivement notés
n"'o
n"'O
Ra . Rb.
Si (V n E N, lan 1 ~ Ibn 1), alors Ra ~ Rb . _ _ J
Preuve
Soit z E C tel que lzl < Rb ; d'après 5.1.2 Théorème-Définition p. 353, L b 11 zn converge absolument.
""'o
6.1.2 Corollaire p. 354) : 1z1 ~ Ra.
on en déduit que L anz" converge absolument, et donc (cf.
""'o
On a ainsi prouvé: [O; Rb[C [O; Ra], et donc Ra ~ Rb.
355
On appelle série géométrique
indifféremment les deux séries entières
l:::z" et l:::a"z",a E C fixé.
n~O
n ~O
Dans les exemples 2) et 3), pour trouver
le rayon, il suffit d'examiner le
comportement (convergence, divergence)
de la suite (a 11 z
11
) 11 •
,.
Cf.Analyse MPSl,exercice 3.1.14: pour tout
\J.-. a E lR fixé tel que~ ri. Z , les suites
n
(cos(na))11 "'0 et (sin (na))11"'0 sont
toutes deux divergentes.
Exercices 6.1.6 à 6.1.11 .
"(
Dans le cas particulier R = 0, on peut
\J..... appeler somme de la série entière
L a,, z" l'application triviale
n~O
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
{O) -)- c.
Exemple très important.
Exercices 6.1.12, 6.1 .13.
6.1.3
Proposition très utile en pratique.
Remarquer le renversement d'inégalité.
Intuitivement, plus les coefficients sont
petits (en modules), plus la série a des
chances de converger .
La comparaison des rayons s'obtient à
l'aide d'une inclusion d'intervalles
(commençant en O),ou d'une inclusion
de disques centrés en O.
6.1 • Rayon de convergence
Exemples:
l) Série géométrique
1
Soit a E C* . La série entière Lan z", appelée série géométrique, admet pour rayon - .
n"'O
lai
2) Rayon de L e _r;, z" ?
n ~O
Soit z E C*. Comme le-Jn z" 1 = exp(-,.jïï + nlnlzl), on a :
l
lz l < 1=?le-Jnz"I-;;-;;;;0
lz l > 1 =? le- Jnznl-;;-;;;; +oo.
On conclut, d'après le Corollaire p. 354 : R = 1.
3) Rayon de L sin n z." '!
Soit z E C.
•Si lzl < 1, alors (Vn E N, lsinn z" I ~ lzl"),etdonc sinn z"--+0. noo
•Pour z = l : sinn z" = sinn ~ 0, donc L sinn zn diverge.
noo
""'o
On conclut, d'après le Corollaire p. 354 : R = 1 .
Soient L anzn une série entière, R son rayon. On appelle somme de la série entièn"'o
re L anzn l'application S : {z E C; lzl < R} ---+ C définie par:
n"'O
l
+oo
S(z) = L anzn.
n=O
Exemple: Série géométrique : V z E C, (
+
00
1 )
lzl < 1 =? L z" = - - (cf. 4.2.4 1)).
1 - z
n=O
Comparaisons de rayons
L anz
11
, L bnzn deux séries entières de rayons respectivement notés
n"'o
n"'O
Ra . Rb.
Si (V n E N, lan 1 ~ Ibn 1), alors Ra ~ Rb . _ _ J
Preuve
Soit z E C tel que lzl < Rb ; d'après 5.1.2 Théorème-Définition p. 353, L b 11 zn converge absolument.
""'o
6.1.2 Corollaire p. 354) : 1z1 ~ Ra.
on en déduit que L anz" converge absolument, et donc (cf.
""'o
On a ainsi prouvé: [O; Rb[C [O; Ra], et donc Ra ~ Rb.
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