'
'
Chapitre 6 • Séries entières
•Le cas R = 0, inintéressant, est peu
fréquent en pratique.
• On note indifféremment R = oo ou
R = +oo,etonditquelerayonRest
« infini ».
Ce corollaire se déduit du théorème
précédent par contra position.
Remarquer les inégalités larges portant
sur lz l en conclusion.
l -
Autrementdit, lorsque lzl = R (où R
est le rayon de L a" z" ), on ne peut
n ~O
« en général » rien affirmer de simple
quant au comportement de la suite
(
11 )
d 1 ' . ~
Il
a11z 11 ;;,o ou e a sene ~ a,.z .
n~O
Q Cf. plus loin, exercice 6.5.25 p. 394.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
D >- 0.
0
u
354
Ce schéma indique trois zones
relativement à la convergence de la
série entière L a 11 z", de rayon R :
11~0
·si lzl < R, alors la série L a11z"
n~O
converge absolument
·sil zl = R,onnepeutrienaffirmerde
simple
·si lzl > R,alors la suite (a11z")11;;,o
n'est pas bornée.
Remarques:
1) Soient L a 11 z
11 une série entière, R son rayon. On a:
11;;,0
• R = 0 si et seulement si: L a 11 z
11 ne converge que pour z = 0
n;;,O
R = oo si et seulement si : L a 11 z
11 converge pour tout z de C .
11;;,0
2) Les séries entières L anz" et L lan lzn ont le même rayon.
n;;,O
n;;,O
Soit L anzn une série entière, R son rayon.
n ;;,O
On a, pour tout z de C :
((a 11 zn )n;;.o bornée)===} lzl ~ R
( L an z n non absolument convergente) ===} lzl ~ R
n;;,O
( L a 11 zn converge) ===} lzl ~ R
1 ·
et donc:
n;;,o
( L llnZn diverge) ===} lz l ~ R.
n ;;,O
Remarque : Le lecteur pourra constater dans tout le chapitre que, vis-à-vis du rayon de
convergence, les inégalités figurant en hypothèse sont strictes, celles figurant en conclusion
sont larges.
Exemples:
L z" : R = 1 et L z
11 diverge pour tout z tel que lzl = 1
n;;,o
n;;,O
Zn
Zn
• L - : R = 1 et L - diverge en 1 et converge en tout z tel que lzl = 1 et z =fa 1
n;;, 1 n
n;;, I n
Z
11
Zn
• L 2 : R = l et L 2 converge pour tout z tel que lzl = l.
11;;, I n
n;;,1 n
L'ensemble {z E C; lzl = R} , souvent appelé cercle de convergence de la série entière
L anz" , sera plutôt appelé cercle d'incertitude.
11;;,0
y
(a,, z"),, ""' 0 n'est pas bornée
Cercle d'incertitude
X
'
Chapitre 6 • Séries entières
•Le cas R = 0, inintéressant, est peu
fréquent en pratique.
• On note indifféremment R = oo ou
R = +oo,etonditquelerayonRest
« infini ».
Ce corollaire se déduit du théorème
précédent par contra position.
Remarquer les inégalités larges portant
sur lz l en conclusion.
l -
Autrementdit, lorsque lzl = R (où R
est le rayon de L a" z" ), on ne peut
n ~O
« en général » rien affirmer de simple
quant au comportement de la suite
(
11 )
d 1 ' . ~
Il
a11z 11 ;;,o ou e a sene ~ a,.z .
n~O
Q Cf. plus loin, exercice 6.5.25 p. 394.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
D >- 0.
0
u
354
Ce schéma indique trois zones
relativement à la convergence de la
série entière L a 11 z", de rayon R :
11~0
·si lzl < R, alors la série L a11z"
n~O
converge absolument
·sil zl = R,onnepeutrienaffirmerde
simple
·si lzl > R,alors la suite (a11z")11;;,o
n'est pas bornée.
Remarques:
1) Soient L a 11 z
11 une série entière, R son rayon. On a:
11;;,0
• R = 0 si et seulement si: L a 11 z
11 ne converge que pour z = 0
n;;,O
R = oo si et seulement si : L a 11 z
11 converge pour tout z de C .
11;;,0
2) Les séries entières L anz" et L lan lzn ont le même rayon.
n;;,O
n;;,O
Soit L anzn une série entière, R son rayon.
n ;;,O
On a, pour tout z de C :
((a 11 zn )n;;.o bornée)===} lzl ~ R
( L an z n non absolument convergente) ===} lzl ~ R
n;;,O
( L a 11 zn converge) ===} lzl ~ R
1 ·
et donc:
n;;,o
( L llnZn diverge) ===} lz l ~ R.
n ;;,O
Remarque : Le lecteur pourra constater dans tout le chapitre que, vis-à-vis du rayon de
convergence, les inégalités figurant en hypothèse sont strictes, celles figurant en conclusion
sont larges.
Exemples:
L z" : R = 1 et L z
11 diverge pour tout z tel que lzl = 1
n;;,o
n;;,O
Zn
Zn
• L - : R = 1 et L - diverge en 1 et converge en tout z tel que lzl = 1 et z =fa 1
n;;, 1 n
n;;, I n
Z
11
Zn
• L 2 : R = l et L 2 converge pour tout z tel que lzl = l.
11;;, I n
n;;,1 n
L'ensemble {z E C; lzl = R} , souvent appelé cercle de convergence de la série entière
L anz" , sera plutôt appelé cercle d'incertitude.
11;;,0
y
(a,, z"),, ""' 0 n'est pas bornée
Cercle d'incertitude
X