Mise en évidence d'une serie
géométrique dont la raison est de
module strictement inférieur à 1.
\?"J
( lzl )"
\JJ Comparaison de la11 z" I à p .
r
IR+ est la demi-droite numérique
\J..... achevée [0; +oo].
'
Définition fondamentale.
Remarquer les inégalités strictes portant
sur 1 z1 en hypothèse.
\ "( \ RestlabomesupérieuredeEdanslR+.
\...:...) donc R E [O; +oo] .Autrement dit, R
est l'extrémité droite de l'intervalle E.
6.1 • Rayon de convergence
Preuve
Il existe M E IR+ tel que: V n E N, lanpn 1 :;;:; M.
On a alors: Vn EN, lanzn l = lanPnl c:I r : ; ; : ; M c: 1 r,
et donc:
(( lzl )")
GnZn = n~ p .
C
lzl [0 l[ 1 ,. , , . ~ ( lzl )n
d
h, , d d . .
omme - E ; , a sene geometnque L., -
converge, et one, par t eoreme e onunat10n,
p
n ~O
p
L lanzn 1 converge.
n ~O
•
~
Soit I:> 11 z
11 une série entière. Il existe un unique élément R de IR.+ = [0; +oo] tel
n ~ O
que:
Vz E C, {
lzl < R ===} ( L a 11 z
11 converge absolument)
n ~O
lzl > R ===} ((a 11 z
11 )n EN n'est pas bornée).
Cet élément R de lR+ s'appelle le rayon de convergence (ou : rayon) de la série
entière L a 11 z
11
•
n ~O
Preuve
1) Existence de R
Notons E = {p E IR+; (a 11 p
11
) 11 eN est bornée}.
Tlestclairque: E CIR+, OEEet VpEE, [O;p]CE.
Il en résulte que E est un intervalle de IR+ contenant O. Notons R = SuplR+ (E),
{
R = SuplR (E)
c'est-à-dire :
+
R = +oo
si E est majorée dans IR+
si E = IR+ .
On a donc : [0; R[ C E C [0; R].
Soit z E C.
•Supposons lzl < R. li existe alors p E E tel que lzl < p < R. Puisque (a,,pn),, eN est bornée, le
lemme d'Abel montre que L a,,z" est absolument convergente.
n ~ O
•Supposons lzl > R. Alors lzl 11
) 11 n'est pas bornée.
2) Unicité
Supposons qu'il existe R 1, R1 convenant et tels que, par exemple, R 1 < R1. En notant
1
P = 2(R1 + R1) si R1 =!= +oo, et p = R1+1 si R1 = +oo, on a R 1 < p < R 2 , la série numérique L:a 11 pn est absolument convergente (car 0 :;;:; p < R1) et la suite (anp"),, ~o n'est pas bornée
n ~O
(car p > Ri), contradiction.
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