Chapitre 6 • Séries entières
lK désigne IR ou C .
6.1 Rayon de convergence
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
6.1.1
L'expression «série entière »vient de ce
que l'exposant n dans z" est un entier
naturel.
En théorie, la donnée d'une série entière
L a.nz" revient à la donnée d'une
n ~O
suite complexe (a,.)neN·
1): Ëtude de la convergence d'une série
entière et calcul, lorsque c'est possible,
de la somme.
2) : Développement d'une fonction en
une série entière, lorsque c'est possible.
6.1.2
\ 'j Revoir la définition de «grand 0 »,
\...:;..--' cf.§ 2.4.1 Déf. 2.
352
l
Notion de série entière
On appelle série entière toute série d'applications L Un : C -----+ C) telle qu'il
n ~O
existe une suite complexe (an)neN telle que :
'Vn EN, V Z E C, fn(Z) = anzn.
Remarques:
1) L'usage a consacré, pour une série entière, la notation L a 11 z
11 au lieu de
n ~ O
J
L (z r-----+ a 11 zn). Ainsi, L anz
11 pourra désigner soit une série entière (cas particulier de
n ~O
n ~O
série d'applications) soit une série numérique, lorsque z est fixé.
2) Si certains des a 11 sont nuls, on peut aussi appeler série entière la série obtenue à partir de
L a 11 z
11 en supprimant des termes nuls. On pourra ainsi considérer les séries entières
11 ~0
'"""' 1 Il
~ -z,
11 ~ 1 n
z:=cn + i)z2
11 ,
n ~O
Les objectifs essentiels de ce ch. 6 sont les suivants :
'"""' 112
~ z
, ...
11 ~ 2
1) Une série entière L anz
11 étant donnée, déterminer (si possible) l'ensemble des z de C pour
11 ~0
+oo
lesquels L a 11 zn converge, et étudier l'application z r-----+ L a 11 z
11
•
11 ~ 0
n=O
2) Une application f étant donnée, existe-t-il une série entière L a 11 x
11 telle que, sous réserve
n ~ O
+oo
de convergence, f (x) = L a 11 x
11 pour x dans une certaine partie de IR (ou de C ).
n=O
Rayon de convergence
et somme d'une série entière
Lemme d'Abel
Soient L anzn une série entière, p E JRi tel que la suite (a 11 pn)neN soit bornée.
n ~ O
Alors, pour tout z de C tel que lzl < p, on a a 11 z
11 = n~ ( ( l;I r), et, en particulier, la série Lan lz est absolument convergente.
J
n ~O
- - - - - - -
lK désigne IR ou C .
6.1 Rayon de convergence
-0
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c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
6.1.1
L'expression «série entière »vient de ce
que l'exposant n dans z" est un entier
naturel.
En théorie, la donnée d'une série entière
L a.nz" revient à la donnée d'une
n ~O
suite complexe (a,.)neN·
1): Ëtude de la convergence d'une série
entière et calcul, lorsque c'est possible,
de la somme.
2) : Développement d'une fonction en
une série entière, lorsque c'est possible.
6.1.2
\ 'j Revoir la définition de «grand 0 »,
\...:;..--' cf.§ 2.4.1 Déf. 2.
352
l
Notion de série entière
On appelle série entière toute série d'applications L Un : C -----+ C) telle qu'il
n ~O
existe une suite complexe (an)neN telle que :
'Vn EN, V Z E C, fn(Z) = anzn.
Remarques:
1) L'usage a consacré, pour une série entière, la notation L a 11 z
11 au lieu de
n ~ O
J
L (z r-----+ a 11 zn). Ainsi, L anz
11 pourra désigner soit une série entière (cas particulier de
n ~O
n ~O
série d'applications) soit une série numérique, lorsque z est fixé.
2) Si certains des a 11 sont nuls, on peut aussi appeler série entière la série obtenue à partir de
L a 11 z
11 en supprimant des termes nuls. On pourra ainsi considérer les séries entières
11 ~0
'"""' 1 Il
~ -z,
11 ~ 1 n
z:=cn + i)z2
11 ,
n ~O
Les objectifs essentiels de ce ch. 6 sont les suivants :
'"""' 112
~ z
, ...
11 ~ 2
1) Une série entière L anz
11 étant donnée, déterminer (si possible) l'ensemble des z de C pour
11 ~0
+oo
lesquels L a 11 zn converge, et étudier l'application z r-----+ L a 11 z
11
•
11 ~ 0
n=O
2) Une application f étant donnée, existe-t-il une série entière L a 11 x
11 telle que, sous réserve
n ~ O
+oo
de convergence, f (x) = L a 11 x
11 pour x dans une certaine partie de IR (ou de C ).
n=O
Rayon de convergence
et somme d'une série entière
Lemme d'Abel
Soient L anzn une série entière, p E JRi tel que la suite (a 11 pn)neN soit bornée.
n ~ O
Alors, pour tout z de C tel que lzl < p, on a a 11 z
11 = n~ ( ( l;I r), et, en particulier, la série Lan lz est absolument convergente.
J
n ~O
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