Exemples de détermination du rayon de convergence d'une série entière
Déterminer le rayon de convergence R des séries entières L a 11 z
11 suivantes
a) L ln (n !)z"
n;;:o
b) L (e 01+1 - e Fn )z"
n~O
(lnn) 11 + 1 ,
c) ~
z'
L..,, 3 112-1
11 ~2
d) L (nÀ - E (nÀ) )z", À E ]O; 1 [ fixé
n~O
Solution
Il
Notons a,, le coefficient de z" dans les séries entières envisagées.
,,
Il
a) On a, pour tout n ?;: 2 : a,, = ln (n !) = L ln k = L ln k,
k= I
k=2
d'où: (n -1) ln2 ~ a,, ~ (n - l ) lnn ~ nlnn.
Notons, pour tout n ?;: 2 : b 11 = (n - 1) ln 2 etc,, = n Inn.
h 11+ I
n
On a, pour n ?;: 2 : b,, > 0, c,, > 0, - - = - - -----+ 1 et :
b 11
n - 1 1100
Cn+ I
(n + 1) ln (n + 1)
n Inn
11 00
ln (n + 1)
Inn
-----+ 1.
1100
D'après la règle de d'Alembert pour les séries entières, les deux séries entières
1
L anz" et L b11 z
11 sont de rayon l = 1.
Il
JI
Comme : V n ?;: 2, 0 ~ b 11 ~ a,, ~ c,, , d'après le Cours, on conclut : R = 1.
b) On a:
En utilisant une expression conjuguée :
~ - .jïï = ~
-----+ O.
n + 1 + .jïï 1100
D'où:
1
e Jii
a" ~ e Fn _ _ _ _ _
1100
~ + .jïï 1100 2.jïï.
6.1 • Rayon de convergence
Conseils
Encadrement de la somme à l'aide du
nombre de termes et du minimum et du
maximum de ces termes.
Car:
ln (n + 1) =Inn + 1n(1 + ~) ~ Inn.
n 1100
On peut aussi utiliser la règle de
d'Alembert pour les séries numériques, en
,
.
lb11+ 1z 11 + 1
1
fixant z E C* et en etud1ant
et
lb,,2 11 1
lc11+ 1z 11 + 1 1
lc11z 11 I
Cf. § 6.1.3 Prop. 1.
On va chercher un équivalent simple de a 11
lorsque l'entier n tend vers l'infini. Comme
a 11 est la différence de deux termes tendant
vers l'infini, on met l'un de ces deux termes
en facteur.
Rappel:
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