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0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
348
Chapitre S • Suites et séries d'applications
4) Pour T E]O; +oo[, notons /\ r : IR -----+ C
l'application, appelée triangle (centré), définie par:
Vt E IR,
1
t + T
Ar(!)= ~t+T
si t E [-T; 0]
si t E [0; T ]
si lt l ~ T .
Encore un exemple important en t héorie du signal.
En utilisant 2) a) et li 1 ), montrer :
T 2 ( sin xT )2
Vx E IR, (~Ar)(x) = ,j2i[ x;
2
y
T
-T
0
T
VI Transformation de Fourier et convolution
1) Soient f E .C 1 et g : IR -----+ C continue par morceaux
et bornée. Montrer que, pour
tout x de IR, l'application lR --> C
est continue par
If-_. f(t)g(x-1)
morceaux et intégrable sur IR .
On note :
f * g(x) = ~ l +oo f(t)g(x - t) dt,
v2rr -oo
et f * g est appelée la convoluée de f et g.
La convolution peut être défin ie avec des conditions moins
restrictives (sur f et g) que celles choisies ici.
2) Soient f ,g E .C
1 telles que g soit bornée.
Montrer f * g E .C
1 et: ~(f * g) = (~f)(~g).
Formule importante pour la théorie du signal.
On admettra qu'on peut permuter les symboles d'intégration qui apparaissent dans ce contexte.
VII Réciprocité de Fourier
Pour toute f : IR -----+ C continue par morceaux, on note
.T : IR -----+ C l'application, appelée régularisée de f, définie par :
Vt E IR, .1Ct) = ~ (1 (t+) + f (t-))
(cf. aussi plus loin, 7.2.l p. 41 2).
On note .C 1 l'ensemble des f de .C 1 telles que .T = f.
Par exemple, la fonct ion porte (centrée et de longueur n. vue en 111):
T
si ltl < 2
T
si Il l~ 2
n'est pas dans Ci, mais la fonction n T, définie par :
-
2
0
est dans .C 1 •
T
si Ill< -
2
T
si ltl = -
2
T
si Il l> 2
1) Montrer : V f E .C 1 , .TE .C 1 .
2) Soit f E .C
1 telle que ~f E .C
1 . On admet :
J 1A .
-
-
~f (u)e •x
11 du ~ f (x).
5 - A
A->+oo
En déduire la formule de réciprocité de Fourier :
V
V
Si f ___. _ F , alors F ___. _ f = .T .
1
f E ,el
-
FE .C 1
On note souvent, pour f E .C 1 , ;f; f l'application, de IR dans
C , définie par :
Vx E IR, ;f;f(x) = ~ l +oo f(t) eixr dt.
v2rr -oo
On a alors, pour toute f de .C 1 telle que ~ f E .C 1
V
~;f; f = ;f;~ f = .T et ~~! = f.
3) Injectivité de~
Démontrer que~ : .êi _,. clR est injective.
ft--+ ~ f
4) Un exemple d'utilisation de l'injectivité de la TF.
Soit f E .C 1. On suppose qu'il existe ri > 0 et a > 1 tels
que :
1
+00
Vt E]Ü; T) ],
- oo lf( u - t) - f(u) ldu ~ (t .
Démontrer: f = O.
5) Soit (f,g) E (.C 1 ) 2 tel que (~f. ~g) E (.c1 ) 2 . Montrer
f g E .C 1 et :
~(fg) = (~f) * (~g).
6) Calcul de convoluées à l'aide de TF directes et inverses
a ) Pour (a ,b) E IR~ x IR, on note Ya ,b: IR-----+ IR l'application définie par :
Vt E IR,
H
a
Ya ,bU) =
( b ) 2
2 .
t -
+ a
Montrer :
'V(a ,b) ,(a' ,b' ) E IR~ X IR, Ya ,b * Ya', b' = Ya+a',b+b'b) Soie nt T E]O; +oo[, n r la fonc tion porte (cf. /Il 1 )),
Ar la fonction triang le (cf. V 4 )).
Montrer : Ar= ,JiIT n r * n r .
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Chapitre S • Suites et séries d'applications
4) Pour T E]O; +oo[, notons /\ r : IR -----+ C
l'application, appelée triangle (centré), définie par:
Vt E IR,
1
t + T
Ar(!)= ~t+T
si t E [-T; 0]
si t E [0; T ]
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Encore un exemple important en t héorie du signal.
En utilisant 2) a) et li 1 ), montrer :
T 2 ( sin xT )2
Vx E IR, (~Ar)(x) = ,j2i[ x;
2
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-T
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T
VI Transformation de Fourier et convolution
1) Soient f E .C 1 et g : IR -----+ C continue par morceaux
et bornée. Montrer que, pour
tout x de IR, l'application lR --> C
est continue par
If-_. f(t)g(x-1)
morceaux et intégrable sur IR .
On note :
f * g(x) = ~ l +oo f(t)g(x - t) dt,
v2rr -oo
et f * g est appelée la convoluée de f et g.
La convolution peut être défin ie avec des conditions moins
restrictives (sur f et g) que celles choisies ici.
2) Soient f ,g E .C
1 telles que g soit bornée.
Montrer f * g E .C
1 et: ~(f * g) = (~f)(~g).
Formule importante pour la théorie du signal.
On admettra qu'on peut permuter les symboles d'intégration qui apparaissent dans ce contexte.
VII Réciprocité de Fourier
Pour toute f : IR -----+ C continue par morceaux, on note
.T : IR -----+ C l'application, appelée régularisée de f, définie par :
Vt E IR, .1Ct) = ~ (1 (t+) + f (t-))
(cf. aussi plus loin, 7.2.l p. 41 2).
On note .C 1 l'ensemble des f de .C 1 telles que .T = f.
Par exemple, la fonct ion porte (centrée et de longueur n. vue en 111):
T
si ltl < 2
T
si Il l~ 2
n'est pas dans Ci, mais la fonction n T, définie par :
-
2
0
est dans .C 1 •
T
si Ill< -
2
T
si ltl = -
2
T
si Il l> 2
1) Montrer : V f E .C 1 , .TE .C 1 .
2) Soit f E .C
1 telle que ~f E .C
1 . On admet :
J 1A .
-
-
~f (u)e •x
11 du ~ f (x).
5 - A
A->+oo
En déduire la formule de réciprocité de Fourier :
V
V
Si f ___. _ F , alors F ___. _ f = .T .
1
f E ,el
-
FE .C 1
On note souvent, pour f E .C 1 , ;f; f l'application, de IR dans
C , définie par :
Vx E IR, ;f;f(x) = ~ l +oo f(t) eixr dt.
v2rr -oo
On a alors, pour toute f de .C 1 telle que ~ f E .C 1
V
~;f; f = ;f;~ f = .T et ~~! = f.
3) Injectivité de~
Démontrer que~ : .êi _,. clR est injective.
ft--+ ~ f
4) Un exemple d'utilisation de l'injectivité de la TF.
Soit f E .C 1. On suppose qu'il existe ri > 0 et a > 1 tels
que :
1
+00
Vt E]Ü; T) ],
- oo lf( u - t) - f(u) ldu ~ (t .
Démontrer: f = O.
5) Soit (f,g) E (.C 1 ) 2 tel que (~f. ~g) E (.c1 ) 2 . Montrer
f g E .C 1 et :
~(fg) = (~f) * (~g).
6) Calcul de convoluées à l'aide de TF directes et inverses
a ) Pour (a ,b) E IR~ x IR, on note Ya ,b: IR-----+ IR l'application définie par :
Vt E IR,
H
a
Ya ,bU) =
( b ) 2
2 .
t -
+ a
Montrer :
'V(a ,b) ,(a' ,b' ) E IR~ X IR, Ya ,b * Ya', b' = Ya+a',b+b'b) Soie nt T E]O; +oo[, n r la fonc tion porte (cf. /Il 1 )),
Ar la fonction triang le (cf. V 4 )).
Montrer : Ar= ,JiIT n r * n r .