V
a) a) Montrer que, pour toute f de C 1 , 7 et f sont dans
C 1 et:
_
V
V
V
J f = J f et J f = J f .
{3) En déduire, pour toute f de C 1 :
V
V
V
V
V
V
"J f =Jf =Jf , i l = Jf "Jf = "Jf ' "8 f = "Jf,
V
V
J f = Jf.
V
V
Attention : J f est la symétrisée de la transformée de Fourier de J. et J f est
la transformée de Fourier de la symétrisée de f .
Symétrisation et transformation de Fourier ne commutent pas.
b) Montrer que, pour toute f de C 1 :
• Si f est réel le et paire, a lors J f est réelle et paire
• Si f est réelle et impaire, alors J f est imaginaire pure et
impaire.
2) Translation de la variable
On rappelle que, pour f : 1R -----+ lR ~ IC , appelée translatée de f par a.
tt-----> f(t - a )
Montrer que, si f E .C 1 et a E IR, alors ra f E .C 1 et :
Vx E IR, J(raf)(x) = e - ixaJf(x).
Autrement dit :
f (t) ---' " F(x)
===}
f (t - a) ---'" e- ixa F(x).
3) Multiplication par eiÀt
Soient À E IR, f E .C I , g : lR ~ 1C
t t-----> e• Àt f(t)
Vérifier g E C 1 , et montrer :
'Vx E IR,
Autrement dit :
f (t) ---'" F(x) ===} eiÀt f (t) ---'" F(x - À).
4) Changement d'échelle
Soient k E IR*, f E _c l , h : lR ~ 1C .
t t-----> f( kt)
Vérifier h E .C
1 et montrer :
'Vx E IR, Jh(x) = l~I Jf (~).
Autrement dit: f(t)---'" F(x) ===} f(kt)---'" l~I F (~).
IV Comportement asymptotique
l)* Montrer: V f E C 1 , J f (x) ------+ 0.
x -->±oo
2) Est-ce que: Vf E C 1 , J f E .C 1 ?
V Dérivation
1) a)* Soit f E .C 1 telle qu'en notant fi : lR ~ IC , on ait
/ t----->tf(t )
f i E C 1 . Montrer que J f est de classe C 1 sur IR et que :
Vx E IR, (Jf)'(x) = -i Jf1 (x).
Autrement dit, si f et t r---+ tf (t) sont dan s C 1 , alors :
f(t)---'" F (x)
===}
- itf(t)---'" F' (x),
Problèmes
ou encore:
f(t)---'" F(x)
===}
tf(t)---'" iF' (x).
b) En déduire que, pour tout n de N et toute f telle que :
'Vk E {0, ... ,n},
(!k : t r---+ t k f (t )) E C 1 ,
J f est de classe en sur IR :
Vk E {0,. .. ,n}, 'Vx E IR, (Jf)(k )(x) = (-i/Jfk(X).
Autrement dit, sous ces hypothèses :
f(t) __,. F(x)
===}
tk f(t) __,. ik F (k) (x).
c) Montrer que, pour toute f : IR -----+ sur IR .
On dit ici que f est continue par morceaux et à support compact.
(
sin x
Par exemple (cf. lil 1 )), x r---+
~
si
2) a) Soit f E .C 1 continue sur IR , de classe C 1 par morceaux sur IR et telle que f ' E C 1 .
a) Montrer: f (t) ----* O.
!-+ ± OO
{J) En déduire: Vx E IR, J(f' ) (x) = ixJf(x).
Autrement
dit,
sous
ces
hypothèses
f (t) ---'" F (x) ===} f'(t)---'" ixF(x) .
b) En déduire que, pour tout n de N et toute f : IR -----+ de classe cn- I , de classe en par morceaux sur IR, telle
que :
Vk E {0,. .. ,n}, f (k) E C 1 ,
on a:
Vk E {0, ... ,n}, Vx E IR, iu) (x ) = (ix)k"Jf (x) .
Autrement dit, sous ces hypothèses :
f(t ) ---'" F(x)
===}
J c) En déduire que, pour tout n de N et toute f : IR -----+ de classe en telle que :
'Vk E {0, .. .,n}, j (k ) E C 1 ,
o n a:
Jf(x) = o (2-).
x -+ ± 00 xn
3) Soient a E]O; + oo[ , f: 1R -----+ l t--+e- a212
En utilisant 2) a) et la valeur de l'intégrale de Gauss,
f
+ oo
2
e - t1 du = ./'ii, montrer :
- OO
Vx E IR,
1
~ 2
Jf(x) = - - e- ~
.
a.fi.
résultat déjà o btenu en Tl 4).
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