"'O
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
346
Chapitre S • Suites et séries d'applications
2) Résoudre le système différe ntie l
tiales:
avec conditions ini1
x' + 2y" = e1
x' + 2x - y = l
x(O) = y(O) = y'(O) = 0
, d'inconnues x,y
[O; +oo[--+ IC de c lasse C 2 .
P 5.2 Transformation de Fourier
La transformation de Fourier est un outil important en Physique, notamment en
théorie du signal.
On note ici L 1 le IC -ev des applications de IR dans IC continues par morceaux et intégrables sur IR .
l Définition de la transformation de Fourier
J) Montrer que, pour toute f de L 1 et tout x de IR, l'application t 1--+ f (t )e-ixt est continue par morceaux et
intégrable sur IR .
Pour f E L 1 , on note J f : IR ----+ IC l'application, appelée
transformée de Fourier de f (en abrégé : TF), définie par :
\lx E IR,
1 f +oo
..
Jf(x) = r,c
f(t)e-u
1 dt.
· v2n - oo
On note aussi (avec F = J j) : f ___. F , ou, abusivement :
f (t) ___. F (x) .
La demi-flèche dans l'autre sens ..,- ,est utilisée pour désigner la transformation
de Fourier réciproque: voir plus loin, partie VII.
Le lecteur pourra rencontrer, dans d'autres ouvrages, les définitions suivantes, légèrement différentes de celle choisie ici :
'Jf(x) = J: oo j(t)e - 2irrxtdt,
'Jf(x) = i~ f(t) e - ixt dt.
1
La présence du coeffi cient r,c se justifiera plus loin ( V/
v2n
et VI/).
2) Démontrer :
a) Pour toute f de L 1 , 'J f est continue sur IR
b) Pour toute f de L 1 , 'J f est bornée sur IR, et :
\lx E IR, l'Jf(x)I ::0:: ~ f +oo lf(t) ldt
v 2n - oo
c) L'application 'J: L: 1 ---+ C(JR,IC) est linéaire.
f>----'>'Jf
Il Exemples
I ) TF d 'une porte
Exemple important en théorie du signal.
Pour T E]O; +oo[ , notons n T : IR ----+ IC l'application,
appelée porte (centrée), définie par:
1
. T
1 Sl ltl < -
\/t E IR, n T(t )=
.
; .
Ü SI ltl ~ -
2
T
2
y
0
T
2
Autrement dit, nT =X)- ~:~[ ' fonction caractéristique
de ] - !_ · !_ [ .
2 ' 2
Vérifier n T E L 1 , e t montre r :
VxEIR* ,
. xT
T sm2
'J n T(X) = - - - - -.
y12ii xT
2
1
2) TF de t 1--+ - - -
a2 + 12
Soie nt
a E]Ü; +oo[,
f : IR ----+ IC défi nie par
1
f(t) = ~ -
a +t
Vérifier f E L 1 , et montrer :
\lx E IR, 'Jf(x) = ~e-atxt.
av2
(Utiliser l 'exercice 3.5.9).
3) TF de t 1--+ e-a ltl
Soient
a E]Ü; +oo[, f : IR ----+ IC
f(t) = e-a t1t_
Vérifier f E L 1 , et montrer:
\lx E IR,
4) TF de t 1--+ e - a
212
Soie nt
ex E]Ü; +oo[,
f : IR ----+ IC
f (t) = e - a212.
Vérifier f E L 1 , et montrer :
définie
défi nie
1
x2
Vx E IR, 'Jf(x) = - - e -4;;2
ex~
(Utiliser l'exerc ice 3.5.10) .
par
par
Ill
Propriétés algébriques de la transformation de
Fourier
l) On rappell e que, pour toute f : IR ----+ IC, on note
-
V
f : lR ---+ IC et f : lR ---+ IC .
t~f(t)
t ~f(-1 )
-
V
f est la conjuguée de j; f est la symétrisée de I
V
V
V
V
Ainsi] = f,f = f,7 = f.
-
V
Les applications f 1--+ f et f 1--+ f sont deux involutions de iclR et commutent.
0
c
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Chapitre S • Suites et séries d'applications
2) Résoudre le système différe ntie l
tiales:
avec conditions ini1
x' + 2y" = e1
x' + 2x - y = l
x(O) = y(O) = y'(O) = 0
, d'inconnues x,y
[O; +oo[--+ IC de c lasse C 2 .
P 5.2 Transformation de Fourier
La transformation de Fourier est un outil important en Physique, notamment en
théorie du signal.
On note ici L 1 le IC -ev des applications de IR dans IC continues par morceaux et intégrables sur IR .
l Définition de la transformation de Fourier
J) Montrer que, pour toute f de L 1 et tout x de IR, l'application t 1--+ f (t )e-ixt est continue par morceaux et
intégrable sur IR .
Pour f E L 1 , on note J f : IR ----+ IC l'application, appelée
transformée de Fourier de f (en abrégé : TF), définie par :
\lx E IR,
1 f +oo
..
Jf(x) = r,c
f(t)e-u
1 dt.
· v2n - oo
On note aussi (avec F = J j) : f ___. F , ou, abusivement :
f (t) ___. F (x) .
La demi-flèche dans l'autre sens ..,- ,est utilisée pour désigner la transformation
de Fourier réciproque: voir plus loin, partie VII.
Le lecteur pourra rencontrer, dans d'autres ouvrages, les définitions suivantes, légèrement différentes de celle choisie ici :
'Jf(x) = J: oo j(t)e - 2irrxtdt,
'Jf(x) = i~ f(t) e - ixt dt.
1
La présence du coeffi cient r,c se justifiera plus loin ( V/
v2n
et VI/).
2) Démontrer :
a) Pour toute f de L 1 , 'J f est continue sur IR
b) Pour toute f de L 1 , 'J f est bornée sur IR, et :
\lx E IR, l'Jf(x)I ::0:: ~ f +oo lf(t) ldt
v 2n - oo
c) L'application 'J: L: 1 ---+ C(JR,IC) est linéaire.
f>----'>'Jf
Il Exemples
I ) TF d 'une porte
Exemple important en théorie du signal.
Pour T E]O; +oo[ , notons n T : IR ----+ IC l'application,
appelée porte (centrée), définie par:
1
. T
1 Sl ltl < -
\/t E IR, n T(t )=
.
; .
Ü SI ltl ~ -
2
T
2
y
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2
Autrement dit, nT =X)- ~:~[ ' fonction caractéristique
de ] - !_ · !_ [ .
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Vérifier n T E L 1 , e t montre r :
VxEIR* ,
. xT
T sm2
'J n T(X) = - - - - -.
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2
1
2) TF de t 1--+ - - -
a2 + 12
Soie nt
a E]Ü; +oo[,
f : IR ----+ IC défi nie par
1
f(t) = ~ -
a +t
Vérifier f E L 1 , et montrer :
\lx E IR, 'Jf(x) = ~e-atxt.
av2
(Utiliser l 'exercice 3.5.9).
3) TF de t 1--+ e-a ltl
Soient
a E]Ü; +oo[, f : IR ----+ IC
f(t) = e-a t1t_
Vérifier f E L 1 , et montrer:
\lx E IR,
4) TF de t 1--+ e - a
212
Soie nt
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f : IR ----+ IC
f (t) = e - a212.
Vérifier f E L 1 , et montrer :
définie
défi nie
1
x2
Vx E IR, 'Jf(x) = - - e -4;;2
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(Utiliser l'exerc ice 3.5.10) .
par
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Propriétés algébriques de la transformation de
Fourier
l) On rappell e que, pour toute f : IR ----+ IC, on note
-
V
f : lR ---+ IC et f : lR ---+ IC .
t~f(t)
t ~f(-1 )
-
V
f est la conjuguée de j; f est la symétrisée de I
V
V
V
V
Ainsi] = f,f = f,7 = f.
-
V
Les applications f 1--+ f et f 1--+ f sont deux involutions de iclR et commutent.