P 5.1 Transformation de Laplace
On note ici C l'ensemble des applications continues de
[O; +oo[ dans C . Pour f E C, on note Dt l'ensemble des p
de C tels que l'application t t----+ e- pr f (t) soit intégrable
sur [O; +oo[. On note :F l'ensemble des f de C telles que
Dt =j:. 0 .
En physique.f désigne un signal causal, c'est-à-dire nul pour 1 < O.
Pour f E :F, l'application Dt --)> IC
s'appelle la
fJ >--'> fo+oo e- Pt /(t) dt
transformée de Laplace de f et est ici notée .Cf On a donc :
r oo
'V f E :F,'Vp E D1, (.Cf)(p) = Jo e - pt f(t) t.
I Propriétés générales de la transformation de IAplace
1) Abscisse de convergence
Soit f E :F; montrer: 'V PO E Dt, 'V p E C,
(Ré(p) ~ Ré(po) ===} p E Dt).
Si la transformée de Laplace de f est définie en un complexe po, alors elle est
aussi définie pour tous les complexes situés« à droite »de PO·
On note CJ f = l.!!_f{ Ré(p); p E D f } ; CJ f est appelée l' abs~
cisse de convergence de f (pour la transformation de
Laplace).
Il est clair que :
• si ŒJ E JR, alors Dt est le demi-plan ouvert ou fermé
limité à gauche par la droite d'équation Ré(p) = ŒJ
• si Œ f = - oo, alors Dt = C .
Remarquer l'analogie avec le rayon de convergence d'une série entière.
2) Un exemple
Pour (n,a) E N x C, déterminer la transformée de Laplace
de f: [0; +oo[-)> C (on précisera Œf et Dt)·
, ...........,.. 1 11 ea1
3) Continuité de .Cf pour f E :F
Soit f E :F ; montrer que .Cf est continue sur DI
4) Propriétés algébriques
a) Linéarité
Montrer que, si f,g E :F et À E C , alors :
{
Àf + g E :F, Œi.f+g ~ M ax(Œf,Œg)
'Vp E Dt n D g, .C(Àf + g)(p) = À.Cf(p) + .Cg(p).
b) Multiplication par e
01
Soient f E :F, a E lR ; on note ici g : fO; +oof--)> ~ .
f >--'> e 01 /(1)
Montrer:
{
g E :F, Dg = D 1 +a= {p +a; p E D 1 }, Πg = ΠJ +a
'Vp E D g, .Cg (p) = .Cf(p - a).
5) Dérivation
a) Soit f E C de classe C 1 sur [O; +oo[. On suppose que,
pour tout p de Dr
1
e- pr f (t) ----+ 0
t_...+oo
t t----+ e - pr f'(t) est intégrable sur [O; +oo[.
Problèmes
1
f' E F , Dr ::::i D 1 , (fr~ ΠJ
Montrer:
'Vp E Dt, .C(f')( p) = p.Cf(p) - f(O).
b) En déduire que, pour tout n de N*, si f E :Fest de classe en sur [O; +oo[ et si, pour tout p de Dt et tout k de
{0, ... ,n- 1}:
,_...+oo
1
e- pl f(k ) (t)----+ Ü
t t----+ e - pt f (k+ l)(t) est intégrable sur [O; +oo[ ,
alors :
11- I
.C(f(n))( p) = p".Cf(p)- L pn-k-1 f(k)(O).
k=O
Formule utile en pratique, quand intervient la transformation de Laplace.
6) Injectivité de la transfonnation de Laplace
Soit f E :F telle que : 'V p E Dt, .Cf (p) =O.
a) Soient p E Dt, a E JR~, g : [O : +oc[-+ C définie
par:
'Vt E [O; +oo[, g(t) = fo
1
e - P" f(u) du.
r +oo
a) Montrer: .Cf(p +a)= a Jo e- ar g(t) dt.
[
1
( ]nu)
f3) En déduire: 'Vn EN, Jo g - ---;; un du= O.
y) Démontrer: 'Vt E [O; +oo[, g(t) =O.
Intervention du premier théorème de Weierstrass, ou d'une de ses conséquences.
b) En déduire f =O.
II Utilisation de la transformation de IAplace pour
la résolution de certaines équations différentielles
ou systèmes différentiels
Si une application y : [O; +oo[----+ C est solution d'une
équation différentielle convenable, d'après 1 5) b), la transformée de Laplace .Cy est solution d'une équation « algébrique ». On peut souvent en déduire .Cy, puis revenir à y
en utilisant l'injectivité de la transformation de Laplace
(1 6)) et un catalogue de transformées de Laplace connues.
Souvent, .Cy(p) se présente sous la forme d'une fraction
rationnelle en p. Une décomposition e n éléments simples
et l'injectivité de .C permettent de calculer y.
Notation du calcul opérationnel.
On note souvent y(t) :::i F(p) pour exprimer que
F : p t----+ F(p)
est la transformée de Laplace de
y: t t----+ y(t).
1) Résoudre l'équation différentielle avec conditions initiales :
[
y" - 3 y' + 2 y = 4e 21
y(O) = -3
, d'inconnue y : [O; +oc[-+ C
y'(O) = 5
de classe c 2 .
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On note ici C l'ensemble des applications continues de
[O; +oo[ dans C . Pour f E C, on note Dt l'ensemble des p
de C tels que l'application t t----+ e- pr f (t) soit intégrable
sur [O; +oo[. On note :F l'ensemble des f de C telles que
Dt =j:. 0 .
En physique.f désigne un signal causal, c'est-à-dire nul pour 1 < O.
Pour f E :F, l'application Dt --)> IC
s'appelle la
fJ >--'> fo+oo e- Pt /(t) dt
transformée de Laplace de f et est ici notée .Cf On a donc :
r oo
'V f E :F,'Vp E D1, (.Cf)(p) = Jo e - pt f(t) t.
I Propriétés générales de la transformation de IAplace
1) Abscisse de convergence
Soit f E :F; montrer: 'V PO E Dt, 'V p E C,
(Ré(p) ~ Ré(po) ===} p E Dt).
Si la transformée de Laplace de f est définie en un complexe po, alors elle est
aussi définie pour tous les complexes situés« à droite »de PO·
On note CJ f = l.!!_f{ Ré(p); p E D f } ; CJ f est appelée l' abs~
cisse de convergence de f (pour la transformation de
Laplace).
Il est clair que :
• si ŒJ E JR, alors Dt est le demi-plan ouvert ou fermé
limité à gauche par la droite d'équation Ré(p) = ŒJ
• si Œ f = - oo, alors Dt = C .
Remarquer l'analogie avec le rayon de convergence d'une série entière.
2) Un exemple
Pour (n,a) E N x C, déterminer la transformée de Laplace
de f: [0; +oo[-)> C (on précisera Œf et Dt)·
, ...........,.. 1 11 ea1
3) Continuité de .Cf pour f E :F
Soit f E :F ; montrer que .Cf est continue sur DI
4) Propriétés algébriques
a) Linéarité
Montrer que, si f,g E :F et À E C , alors :
{
Àf + g E :F, Œi.f+g ~ M ax(Œf,Œg)
'Vp E Dt n D g, .C(Àf + g)(p) = À.Cf(p) + .Cg(p).
b) Multiplication par e
01
Soient f E :F, a E lR ; on note ici g : fO; +oof--)> ~ .
f >--'> e 01 /(1)
Montrer:
{
g E :F, Dg = D 1 +a= {p +a; p E D 1 }, Πg = ΠJ +a
'Vp E D g, .Cg (p) = .Cf(p - a).
5) Dérivation
a) Soit f E C de classe C 1 sur [O; +oo[. On suppose que,
pour tout p de Dr
1
e- pr f (t) ----+ 0
t_...+oo
t t----+ e - pr f'(t) est intégrable sur [O; +oo[.
Problèmes
1
f' E F , Dr ::::i D 1 , (fr~ ΠJ
Montrer:
'Vp E Dt, .C(f')( p) = p.Cf(p) - f(O).
b) En déduire que, pour tout n de N*, si f E :Fest de classe en sur [O; +oo[ et si, pour tout p de Dt et tout k de
{0, ... ,n- 1}:
,_...+oo
1
e- pl f(k ) (t)----+ Ü
t t----+ e - pt f (k+ l)(t) est intégrable sur [O; +oo[ ,
alors :
11- I
.C(f(n))( p) = p".Cf(p)- L pn-k-1 f(k)(O).
k=O
Formule utile en pratique, quand intervient la transformation de Laplace.
6) Injectivité de la transfonnation de Laplace
Soit f E :F telle que : 'V p E Dt, .Cf (p) =O.
a) Soient p E Dt, a E JR~, g : [O : +oc[-+ C définie
par:
'Vt E [O; +oo[, g(t) = fo
1
e - P" f(u) du.
r +oo
a) Montrer: .Cf(p +a)= a Jo e- ar g(t) dt.
[
1
( ]nu)
f3) En déduire: 'Vn EN, Jo g - ---;; un du= O.
y) Démontrer: 'Vt E [O; +oo[, g(t) =O.
Intervention du premier théorème de Weierstrass, ou d'une de ses conséquences.
b) En déduire f =O.
II Utilisation de la transformation de IAplace pour
la résolution de certaines équations différentielles
ou systèmes différentiels
Si une application y : [O; +oo[----+ C est solution d'une
équation différentielle convenable, d'après 1 5) b), la transformée de Laplace .Cy est solution d'une équation « algébrique ». On peut souvent en déduire .Cy, puis revenir à y
en utilisant l'injectivité de la transformation de Laplace
(1 6)) et un catalogue de transformées de Laplace connues.
Souvent, .Cy(p) se présente sous la forme d'une fraction
rationnelle en p. Une décomposition e n éléments simples
et l'injectivité de .C permettent de calculer y.
Notation du calcul opérationnel.
On note souvent y(t) :::i F(p) pour exprimer que
F : p t----+ F(p)
est la transformée de Laplace de
y: t t----+ y(t).
1) Résoudre l'équation différentielle avec conditions initiales :
[
y" - 3 y' + 2 y = 4e 21
y(O) = -3
, d'inconnue y : [O; +oc[-+ C
y'(O) = 5
de classe c 2 .
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