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0
u
344
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Solution
1
1
+oo 1
1
+oo
2
•
f (x) d.x = L f,,(x) d.x = L
·
o
11= 1 o
11= 1 n(l + .Jn+T)
c) On a:
+oo
1
1
\lx E [1;+oo[, f(x) = L ~ ~ ~·
n = t n 1 + nx v 1 + x
1
l
l
Comme - - -
~
1
~ 0 et que - ::( 1, d'après l'exemple de Riemann
yT+X x - +oo x z
2
en +oo et le théorème d'équivalence pour des fonctions ~ 0, la fonction
1

vl+x
Puisque f ~

minoration, on conclut que f n'est pas intégrable sur [l; +oo[.
Les méthodes à retenir
Conseils
On a, pour tout n E N* , f,, ;;:: 0 et on vient
de calculer Io
1
lfn I·
Les termes de la série étant tous ;;:: 0, on
peut minorer la somme de la série par son
premier terme.
Contraposition du théorème de majoration
pour des fonctions ;;:: O.
Convergence et intégration sur un intervalle quelconque,
pour une série d'applications
• Pour permuter J, et L , essayer l'une des quatre idées suivantes.
I
11 ,,,0
- s'il s'agit d'un segment, si chaque fonction est continue et s'il a convergence uniforme, appliquer le théorème
du§ 5.3.4
- s'il s'agit d' un intervalle quelconque, essayer d'appliquer le théorème du§ 5.3.6 (ex. 5.3.38, 5.3.39)
- s'il s'agit d'un intervalle [a; b[,a E JR,b E ffi' , justifier éventuellement la permutation des symboles lx (pour
x E [a; b[) et L• et étudier ensuite le passage à la limite lorsque x tend vers b
n :;;,O
- si aucune des trois idées précédentes n'est efficace, montrer que l'intégrale du reste tend vers 0, c'est-à-dire
f,
R 11 (x) dx-----+ 0 (ex. 5.3.23 b) àf) du§ 5.3.4 p. 335); voir§ 5.3.4 Remarque p. 331.
1
noo
5.3.38 Montrer: Vx E]I; +oo[, V>.. E [-1 ; I],
~
+oo
)
+
00
1
5.3.39 Montrer :
(ç(x) - 1 d.x = L - 2 - -,
2
n= 2 n Inn
+oo 1
où Ç est la fonction de Riemann, Ç(x) = L--:;:- (cf. 5.3.5
n=I n
Exemple p. 335).