Solution
Notons, pour tout n E N* :
1
J,, : [O; +oo[ -----+ R, x t-----+ J,, (x) =
~.
n-v l +nx
1
a) J) Soit x E ]O; +oo[. On a :J,,(x) ~ - - 3 ~ O. D'après l'exemple de Riemann
1100 ./X n1
(3 /2 > 1) et le théorème d'équivalence pour des séries à termes réels ~ 0 , la série
L f,,(x) converge, et donc f est définie sur ]O; +oo[.
11 ~ 1
2) •Pour tout n EN*, f,, est continue sur ]O; +oo[.
• Montrons que la série d'applications L J,, converge uniformément sur tout segment inclus dans ]O; +oo[.
Soit (a,b) E R
2 tel que 0
11 ~ 1
1
l
Vn EN*, V x E [a ; b] , lf,,(x)I = ~ ~ ~ = f,,(a),
n...; 1 + nx n
d'où:
Vn EN*, llJ,, lta:b] lloo ~ J,,(a).
Comme la série d'applications L J,, converge simplement sur ]0; +oo[, la série
numérique L J,,(a) converge, donc, par théorème de majoration pour des séries à
tr ~ l
termes réels ~ 0, la série L 11 J,, ha:bl l loo converge. Ceci montre que la série
11 ~ 1
L f,, converge normalement, donc uniformément, sur [a ; b].
n ~ I
Puisque, pour tout n E N*, J,, est continue sur ]0; +oo[ et que L J,, converge uni11;;=:: 1
formément sur tout segment de ]O; +oo[, d'après un théorème du Cours, f est
continue sur ]O; +oo[.
b) •Pour tout n E N*, J,, est continue par morceaux (car continue) sur ]O; 1 ].
• L J,, converge simplement sur ]0; 1) ; la somme est ic i notée f.
n ~ I
• f est continue par morceaux (car continue, cf. a)) sur ]O; 1 ].
• On a, pour tout n E N* :
l
i
l' 1 [2~]'
IJ,,(x) I
o
o n...; l + nx
n
0
2
2
2
=-(~-1)=
~3 ·
n
2
n(..ff+/ï + 1) n 1
D'après l'exemple de Riemann (3/2 > 1) et le théorème de majoration pour des
séries à termes réels ~ 0 , on en déduit que la série L {
1
1J,,1 converge.
11 ;;. 1 lo
D'après le théorème du Cours sur convergence et intégration sur un intervalle q uelconque, on conclut :
• f est intégrable sur ]0; 1] .
5.3 • Séries d'applications
Conseils
Donnons un nom au terme général de
la série d'applications, pour retrouver
les notations du Cours.
Autrement dit, la série d'applications L f,,
n~ I
converge simplement sur ]O; +oo[.
Autrement dit: [a; bl c lO; + oo[.
Utilisation du théorème sur convergence
uniforme et continuité, pour une série
d'appl ications.
Mise en place des quatre points de
l'hypothèse du théorème sur convergence
et intégration sur un intervalle quelconque,
pour une série d'applications.
Utilisation d'une expression conjuguée:
Ji"+,; - 1 = .;ri,, .
l + n + I
Utilisation du théorème sur convergence et
intégration sur un intervalle quelconque,
pour une série d'applications.
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Notons, pour tout n E N* :
1
J,, : [O; +oo[ -----+ R, x t-----+ J,, (x) =
~.
n-v l +nx
1
a) J) Soit x E ]O; +oo[. On a :J,,(x) ~ - - 3 ~ O. D'après l'exemple de Riemann
1100 ./X n1
(3 /2 > 1) et le théorème d'équivalence pour des séries à termes réels ~ 0 , la série
L f,,(x) converge, et donc f est définie sur ]O; +oo[.
11 ~ 1
2) •Pour tout n EN*, f,, est continue sur ]O; +oo[.
• Montrons que la série d'applications L J,, converge uniformément sur tout segment inclus dans ]O; +oo[.
Soit (a,b) E R
2 tel que 0
11 ~ 1
1
l
Vn EN*, V x E [a ; b] , lf,,(x)I = ~ ~ ~ = f,,(a),
n...; 1 + nx n
d'où:
Vn EN*, llJ,, lta:b] lloo ~ J,,(a).
Comme la série d'applications L J,, converge simplement sur ]0; +oo[, la série
numérique L J,,(a) converge, donc, par théorème de majoration pour des séries à
tr ~ l
termes réels ~ 0, la série L 11 J,, ha:bl l loo converge. Ceci montre que la série
11 ~ 1
L f,, converge normalement, donc uniformément, sur [a ; b].
n ~ I
Puisque, pour tout n E N*, J,, est continue sur ]0; +oo[ et que L J,, converge uni11;;=:: 1
formément sur tout segment de ]O; +oo[, d'après un théorème du Cours, f est
continue sur ]O; +oo[.
b) •Pour tout n E N*, J,, est continue par morceaux (car continue) sur ]O; 1 ].
• L J,, converge simplement sur ]0; 1) ; la somme est ic i notée f.
n ~ I
• f est continue par morceaux (car continue, cf. a)) sur ]O; 1 ].
• On a, pour tout n E N* :
l
i
l' 1 [2~]'
IJ,,(x) I
o
o n...; l + nx
n
0
2
2
2
=-(~-1)=
~3 ·
n
2
n(..ff+/ï + 1) n 1
D'après l'exemple de Riemann (3/2 > 1) et le théorème de majoration pour des
séries à termes réels ~ 0 , on en déduit que la série L {
1
1J,,1 converge.
11 ;;. 1 lo
D'après le théorème du Cours sur convergence et intégration sur un intervalle q uelconque, on conclut :
• f est intégrable sur ]0; 1] .
5.3 • Séries d'applications
Conseils
Donnons un nom au terme général de
la série d'applications, pour retrouver
les notations du Cours.
Autrement dit, la série d'applications L f,,
n~ I
converge simplement sur ]O; +oo[.
Autrement dit: [a; bl c lO; + oo[.
Utilisation du théorème sur convergence
uniforme et continuité, pour une série
d'appl ications.
Mise en place des quatre points de
l'hypothèse du théorème sur convergence
et intégration sur un intervalle quelconque,
pour une série d'applications.
Utilisation d'une expression conjuguée:
Ji"+,; - 1 = .;ri,, .
l + n + I
Utilisation du théorème sur convergence et
intégration sur un intervalle quelconque,
pour une série d'applications.
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