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342
Chapitre S · Suites et séries d'applications
La considération de f,, vient du
développement à l'aide de la série
géométrique:
xe-ax
----, b- sinwx
1 -e- X
+oo
= l:xe- n = O
On a ainsi exprimé sous forme de série
la transformée de Laplace (cf.5.1 p.345)
de l'application
x sin wx
x ~ 1 - e-bx ·
Exemple:
Montrer, pour tout (a.h.w) de JO; +oo[x]O: +oo[x JR :
1
+"" xe -a.•
""
a+ bn
r; in wx d.x = 2w L
o .
o
l - e -ln
n = O ( Considérons, pour tout n de N , fn : [O; +oo[ ~ 1R définie par :
Vx E [O; +oo[, f 11 (x) = xe- Il est clair que :
•pour tout n de N , fn est continue par morceaux et intégrable sur JO; +oo[ (ou [O; +oo[)
• L f,, converge simplement sur JO; +oo[ (et même [O; +oo[), et a pour somme
n:;,O
xe-ax
S : x t----+
sin wx
1 - e - bx
• S est continue par morceaux sur JO; +oo[
r+oo
• L Jo lfn (x) I dx converge car, pour tout n de N, à . l'aide d'une intégration par parties,
n:;,O 0
on a:
lf,,(x) I dx :::;;
xe- .
la
+oo
la+oo
.
1
0
0
(a+bn) 2
D'après le Théorème, S est intégrable sur JO; +oo[, et :
i
~ u~
~ Io ~
.
- - - sinwx dx = "°""'
xe- 1 - e-bx
L., O
n=O
Une intégration par parties fournit :
\fn E N,
ro +oo xe < - < a+bn)+iw)x dx = -----~
Jo
((a+bn)-iw)
2
D'où:
1
+oo xe - ax
.
~
2w(a + bn)
sm wx dx = L.,
2 •
o
1-e -bx
11=0 ((a+bn)2+w2)
(Ca+ bn) + iw)
2
((a+ bn) 2 + w 2 )
2
.
Étude de l'intégrale de la somme d'une série d'applications
On note, sous réserve d'existence, pour x E [O; +oo[ :
+oo
l
J .
n= I nJl +nx
a) Montrer que f est définie et continue sur JO; +oo[.
b) Montrer que f est intégrable sur )0; lJ et que:
1
1
+oo
2
1cx)c1x = z=
.
o
11 = 1 n(l + .Jn+l)
c) Est-ce que f est intégrable sur [1; +oo[ ?