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5.3 ·Séries d'applications
Exemple p. 335) est de classe C
00 , décroissante. Tracer la
courbe représentative de (.
b) Démontrer que, pour tout x de JR*, la série de Taylor de
5(k) (0)
5.3.35 Soit f :] - 1; l [ ~ tC continue. On définit une
suite Un)n ~ O d'applications de] - 1; l [dans tC par fo = f
S en 0, L - - xk diverge.
k ~O k!
et: Vn EN, \lx E]-1; l[, fn + J(X) =fox fn(t) dt .
5.3.37 Soit +oo
Etudier la convergence de L fn et exprimer L fn en
que: Vt E [-~; ~], 2 ).
n
n=O
fonction de f.
5.3.36 Pour n E N*, on note fn : lR ~ tC l'application
ei2"x
définie par: Vx E JR, fn(x) = - - .
Pour n E N, on note 'Pn : lR ~ lR
x~~ (n !)
a) Montrer que L 'Pn converge normalement sur lR et que
n ~O
nn
a) Montrer que L fn converge normalement sur lR et que
n ~ l
sa somme f est de classe C
1 sur lR.
sa somme S est de classe C
00 sur lR .
b) Etablir: f( 5.3.6
Ce théorème, s'il s'applique, permet de
1
+oo
permuter et L
I
n=O
Convergence d'une série d'applications
et intégration sur un intervalle quelconque
Dans ce§ 5.3.6, l désigne un intervalle de JR , non vide ni réduit à un point.
Soit L Un : l ~ OC) une série d'applications.
n ~O
Si
alors
• Pour tout n de N, fn est continue par morceaux et intégrable sur l
• L fn converge simplement sur l
n ~O
+oo
• L fn est continue par morceaux sur l
n=O
• L f 1fn1 converge
n~O f
+oo
• L f n est intégrable sur l
n=O
• f ~J,1 ~ ~j lfnl
• j~fn = ~1 f n·
Conformément au programme, ce théorème est admis.
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