-0
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
.!::
O'l
·;::::
>0.
0
u
340
Chapitre S • Suites et séries d'applications
Exe1Lcices
5.3.24
a) Etudier les convergences de L fn. où
n ~ l
fn : lR -
lR
. On note S la somme.
(- 1) " -
r.;
X t----+ - - e x..;n
n
b) Montrer que S est de classe C 1 sur [O; +oo[.
c) Tracer la courbe représentative de S.
5.3.25
a) Etudier les convergences de L fn, où
n ~ l
fn : D = lR - ~~ - JR . On note S la somme.
xr-+ 1
1
n:-n+x
b) Montrer que S est de classe C 1 sur D . Que vaut S(l)?
5.3.26 a) Etudier les convergences de L fn, où
n ~ I
fn : lR -
lR
. On note S la somme.
XI--+
X
n(I +nx 2 )
b) Montrer que S est de classe C 1 sur JR* .
c) Etablir : S(l ) = l , S est impaire,
S(x)
- - ~ +oo, S(x)-----+ O.
X
x~~
x ~+oo
5.3.27 a) Etudier les convergences de " ' où
L.., Jn,
f,, : JR' .f. -
lR . On note S la somme.
X t----+ e - n2 x
b) Montrer que S est de classe C
00 sur JR' .f..
c) Former le développement asymptotique de S(x) à la
précision e-Sx lorsque x -
+oo.
d) Tracer la courbe représe ntative de S.
+oo
5.3.28 Pour n E N, on note fn : JR+. -
lR , S = L f,, .
XI--+ ~
n=O
n!(x+n)
1
a) Montrer que S est définie sur JR'.f., que S(l) = 1 - - , et
e
que:
'Vx E JR+.,
1
xS(x)- S(x + 1) = -.
e
b) Montrer que S est de classe C
00 sur JR' .f..
1
c) Etablir : S(x) ~ - .
x~ Q+ X
d) Former le développement asymptotique de S(x) à la
1
précision 3 1orsque x - +oo .
X
e) Montrer : Vx E JR'.f., S(x) =fol t x - le1 dt.
5.3.29 a) Etudier les convergences de " ' où
L.., Jll•
n ~O
f,, : JR+. -
lR . On note S la somme.
XI--+ (- J)"
~
b) Etudier la continuité, la dérivabilité, les limites e n o+ et
+oo de S.
!o
+oo
2
fi
c) En utilisant
e1 dt = -
(cf. ex. 3.1.6),
0
2
montrer :
"lx E JR+.,
1 !o+oo
e-tx
S(x) = -
dt.
fi 0 .Jto + e- 1 )
5.3.30 a) Etudier les convergences de L f 11 , où
f,,: lR+ - lR
XI--+ ( - ) )" e-llX
n+ I
On note S la somme.
b) Etudier la dérivabilité de S.
+oo (-l)n+l
c) Calculer S. On pourra utiliser L
= - ln 2,
n=O n + 1
cf. 6.5.3 4) Rem. p. 383 .
5.3.31 a) Etudier les convergences de L fn, où fn
lR+ -
lR . On note S la somme.
X t--+ -
) -
(n+x)2
n ~ I
b) Montrer que S est décroissante et positive.
1
c) Etablir que l'application x r---+ lc'f::\ est
-vS(x)
sur lR+.
concave
5.3.32 a) Etudier les convergences de " ' où
L.., Jll •
fn : [-rr; rr ] -
JR . On note S la somme.
Xt--+ sin nx
n 2 (n+ I )
b) Montrer: V(x ,y) E [-rr; rr ]2,
n ~ I
(x -1- y==> IS(x) - S(y) I < lx - yl).
c) S est-elle contractante ?
5.3.33 Soient a E [0; 1(, fJ E]O; l], (u 11 )n ~ I une suite
réelle te lle que : Vn EN*, u,, E [{J; 1].
Montrer que l'application S : x r---+ ln( ~ a" u~) est
n= I
définie sur [l ; +oo[, de classe C
00 et convexe.
5.3.34 Fonction ~ de Riemann
M ontrer
que
~ :]l; +oo[- JR,
définie
par
+oo 1
~(x) =L x (cf. exercice 5.3.l o) p. 324 et § 5.3.5
11=1 n
0
c
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Chapitre S • Suites et séries d'applications
Exe1Lcices
5.3.24
a) Etudier les convergences de L fn. où
n ~ l
fn : lR -
lR
. On note S la somme.
(- 1) " -
r.;
X t----+ - - e x..;n
n
b) Montrer que S est de classe C 1 sur [O; +oo[.
c) Tracer la courbe représentative de S.
5.3.25
a) Etudier les convergences de L fn, où
n ~ l
fn : D = lR - ~~ - JR . On note S la somme.
xr-+ 1
1
n:-n+x
b) Montrer que S est de classe C 1 sur D . Que vaut S(l)?
5.3.26 a) Etudier les convergences de L fn, où
n ~ I
fn : lR -
lR
. On note S la somme.
XI--+
X
n(I +nx 2 )
b) Montrer que S est de classe C 1 sur JR* .
c) Etablir : S(l ) = l , S est impaire,
S(x)
- - ~ +oo, S(x)-----+ O.
X
x~~
x ~+oo
5.3.27 a) Etudier les convergences de " ' où
L.., Jn,
f,, : JR' .f. -
lR . On note S la somme.
X t----+ e - n2 x
b) Montrer que S est de classe C
00 sur JR' .f..
c) Former le développement asymptotique de S(x) à la
précision e-Sx lorsque x -
+oo.
d) Tracer la courbe représe ntative de S.
+oo
5.3.28 Pour n E N, on note fn : JR+. -
lR , S = L f,, .
XI--+ ~
n=O
n!(x+n)
1
a) Montrer que S est définie sur JR'.f., que S(l) = 1 - - , et
e
que:
'Vx E JR+.,
1
xS(x)- S(x + 1) = -.
e
b) Montrer que S est de classe C
00 sur JR' .f..
1
c) Etablir : S(x) ~ - .
x~ Q+ X
d) Former le développement asymptotique de S(x) à la
1
précision 3 1orsque x - +oo .
X
e) Montrer : Vx E JR'.f., S(x) =fol t x - le1 dt.
5.3.29 a) Etudier les convergences de " ' où
L.., Jll•
n ~O
f,, : JR+. -
lR . On note S la somme.
XI--+ (- J)"
~
b) Etudier la continuité, la dérivabilité, les limites e n o+ et
+oo de S.
!o
+oo
2
fi
c) En utilisant
e1 dt = -
(cf. ex. 3.1.6),
0
2
montrer :
"lx E JR+.,
1 !o+oo
e-tx
S(x) = -
dt.
fi 0 .Jto + e- 1 )
5.3.30 a) Etudier les convergences de L f 11 , où
f,,: lR+ - lR
XI--+ ( - ) )" e-llX
n+ I
On note S la somme.
b) Etudier la dérivabilité de S.
+oo (-l)n+l
c) Calculer S. On pourra utiliser L
= - ln 2,
n=O n + 1
cf. 6.5.3 4) Rem. p. 383 .
5.3.31 a) Etudier les convergences de L fn, où fn
lR+ -
lR . On note S la somme.
X t--+ -
) -
(n+x)2
n ~ I
b) Montrer que S est décroissante et positive.
1
c) Etablir que l'application x r---+ lc'f::\ est
-vS(x)
sur lR+.
concave
5.3.32 a) Etudier les convergences de " ' où
L.., Jll •
fn : [-rr; rr ] -
JR . On note S la somme.
Xt--+ sin nx
n 2 (n+ I )
b) Montrer: V(x ,y) E [-rr; rr ]2,
n ~ I
(x -1- y==> IS(x) - S(y) I < lx - yl).
c) S est-elle contractante ?
5.3.33 Soient a E [0; 1(, fJ E]O; l], (u 11 )n ~ I une suite
réelle te lle que : Vn EN*, u,, E [{J; 1].
Montrer que l'application S : x r---+ ln( ~ a" u~) est
n= I
définie sur [l ; +oo[, de classe C
00 et convexe.
5.3.34 Fonction ~ de Riemann
M ontrer
que
~ :]l; +oo[- JR,
définie
par
+oo 1
~(x) =L x (cf. exercice 5.3.l o) p. 324 et § 5.3.5
11=1 n