Solution
Puisque, pour tout n E N* , f,1 (x) -----+ 0 et que ' °"" f,, converge uniformément
X -=i- +oo
~
n ~ l
sur [2; +oo[, d'après un théorème du Cours :
+oo
S(x) -----+ ' °"" 0 =O.
X -'l> +oo ~
n= I
d)
X
0
1
+oo
S'(x)
1
+
-
+ oo +oo
S(x)
o/ ~o
y
y= S (x)
0
Les méthodes à retenir
X
5.3 ·Séries d'applications
Conseils
Utilisation du théorème sur convergence
uniforme et limite pour une série
d'applications.
On consigne les résultats précédents dans
le tableau de variations.
Il est clair que S(O) = 0, tous les termes de
la série étant nuls, et que S' (0) = 1, tous
les termes de la série étant nuls sauf
le premier qui est égal à 1.
Convergence uniforme et dérivation, pour une série d'applications
• Pour montrer que la somme S d'une série d'applications L J, 1 est de classe C
1
, ou ck, ou c0v (ex. 5.3.24 à
11"0
5.3.31 b ), 5.3.33, 5.3.34, 5.3.36 a), 5.3.37 a)), essayer d'appliquer le théorème p. 334 ou son corollaire.
• On peut ainsi étudier la somme S(x) d'une série d'applications L fn et tracer sa courbe représentative (dans des
n ;;,O
cas simples) sans connaître S(x) par une formule explicite (ex. 5.3.24, 5.3.26 à 5.3.28).
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