Dans cet exemple, la convergence
absolue et la convergence normale ne
sont pas « intéressantes ».
M Majoration de la valeur absolue du reste
\JJ pour une série relevant du TSCSA.
J\ Cet exemple montre:
C.S. *
C.A.,
C.V.* C.A.,
C.V.* C.N.
5.3 ·Séries d'applications
• Convergence absolue
X
~1 .
~
Pour tout x fixé de IR~ , lfn(x) I ~
~ 0 et L., - diverge, donc L., lf,, (x) I diverge.
1100 n(l + x)
n;;, 1 n
11 ;;, l
Ainsi, l'ensemble de convergence absolue de L !11 est {0}.
11;;, l
• Convergence normale
Puisque la convergence normale entraîne la convergence absolue, L f 11 ne converge normale11;, 1
ment que sur {0}.
• Convergence uniforme
Pour x E IR+ fixé, la série L f 11 (x) relève du TSCSA (cf. 4.3.5 Théorème) puisqu'elle est
11;, 1
alternée et que (l f,,(x)l) 11 ;;, 1 décroît et tend vers O. On a donc (cf. 4.3.8. 2) c) Proposition):
Vn E N*, Vx E IR+, IR,,(x) I = 1 ~ fk(x)I::,;;; lln+ l (x)I.
k=n+ l
1
L'étude des variations de IJ, 1 + 1 I montre: llJ, 1 + 1 lloo = - - .
n + l
Ainsi, R,, est bornée pour tout n de N*, et 11 Rll l loo ----+ O.
11 00
Finalement, L f,, converge uniformément sur IR+.
11 ;;, I
Exemple d'étude de convergence d'une série d'applications
x"
On note, pour a E [0; +oo[ et n EN* : fa.11 : [O; +oo[ ~ IR , x 1---* fa,,, (x) = ~ + 2 .
X
n
Déterminer l'ensemble des a E [O; +oo[ tels que la série d'applications L fa, 11 converge uniformément sur [O; +oo[.
11 ~ 1
Solution
Soit a E [0; +oo[.
Pour tout n E N*, fa, 11 est de classe C
1 sur [O; +oo[ et, pour tout x E [O; +oo[ :
a- 1
X
(
2
2)
2
2 2
(a - 2)x +an .
(x + n)
•Si a > 2, alors, pour tout n E N*, f a.n est croi ssante et fa. 11 (x) ~ +oo, donc
X -----':1- +OO
!a. 11 n'est pas bornée. Il en résulte, d'après le Cours, que la série d'applications
L fa,n ne converge pas uniformément sur [0; +oo[.
11 ~ 1
• Si a = 2, alors, pour tout n E N*, f a.n est croissante, fa,n (0) = 0 et
fa,,,(x) ~ 1, donc llfa,11lloo = 1.
X ----'i> +oo
Conseils
On va, pour tout a E [O; +oo[ fixé, étudier
la convergence uniforme de la série
d'applications L f~. 11 •
n~ I
Pour a E fO; +oo[ fixé, on résout la question :
est-ce que, pour n E N* .fa.n est bornée ?
Pour le calcul de f~,,,(x) , on peut, si l'on
veut, isoler le cas x = 0, à cause de la
présence du facteur x" - 1 , pour a E [O; 1 l
x"
a - 2
fa.11(x) = - 2
- -
2
~
x
~ +oo.
X + n x->+oo
x-> +oo
x2
fa ,11(X) = -2--2 ~ J.
x +n x->+oo
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