-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Solution
Comme ll fa.11l loo --f+ 1100
0, d'après le Cours, la série d'applications L fa.11 ne
converge pas uniformément sur [O; +oo[.
• Supposons 0 ~ a < 2.
Pour tout n E N*, on forme le tableau de variations de fa.n :
a
X
0
- -
+oo
2-a
J;;jx)
+
0
-
_fi,,}x)
/~
0 si O
l_ si a =0
n2
D'où:
n ~ I
ll!a.11 lloo = 1(/2: n) ~ ( !jE ·r
a
- - n2+ n2
- 2 - a ( a )a/2 a-2
- - - - -
n
.
2
2-a
2-a
* Si 0 ~ a < 1, alors a - 2 < -1 , donc, d'après l'exemple de Riemann, la série
de terme général 11 f a. 11 l loo converge, donc L f a, 11 converge normalement, donc
11 ~ 1
uniformément, sur [O; +oo[.
* Supposons 1 ~ a < 2.
Formons, pour n EN* et x E [O; +oo[, le reste R,,(x) d'ordre n de la série
L fa ,11(X):
n ~ I
na
1
l
l
En particulier: R,.(n) ~ n Sn 2 = Sna- I ~ S' donc : llR,, lloo ~ 5·
Il en résulte : R,, ~
1100
[O; +oo[.
0, et donc L fa, 11 ne converge pas uniformément sur
n~ I
On conclut : La série L fa,11 converge uniformément sur [O; +oo[ si et seu.lement
n ~ I
Conseils
Par contra position, à partir de : si L fa.11
n~ I
converge uniformément sur [0; +oo[, alors
ll/a,11 lloo ~O.
1100
On a calculé f~. 11 au début de la solution.
xa
fa ,n (X) = -i--+ 2
Xa -
2 ---+ 0,
x
n x-++oo
x-+ +oo
cara < 2.
Le calcu l de 11/a,n l loo en fonction den est
ici possible.
Dans ce cas, 1 1 / a.11 l loo ~ O. Pour étudier la
1100
convergence uniforme, on étudie le reste,
qui existe car, pour tout x E [O: +oo[, la
série numérique L f,, (x ) converge,
n~ I
.
./
./ a ]
pu1squeO """ f,,(x) """ x 2 .
n
Les termes de la série sont tous :;::: 0, et on
minore une somme den termes par n fois
le plus petit.
On choisit de remplacer x par n.
Utilisation, par contraposition, de la
caractérisation de la convergence
uniforme d'une série d'applications,
en faisant intervenir le reste.
.._,
si: 0 ~ a < 1 .
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
322
Les méthodes à retenir
Convergences d'une série d'applications
• Pour étudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) une
série d'applications (ex. 5.3.1), suivre, en général, le plan d'étude p. 318.
0
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Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Solution
Comme ll fa.11l loo --f+ 1100
0, d'après le Cours, la série d'applications L fa.11 ne
converge pas uniformément sur [O; +oo[.
• Supposons 0 ~ a < 2.
Pour tout n E N*, on forme le tableau de variations de fa.n :
a
X
0
- -
+oo
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+
0
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0 si O
l_ si a =0
n2
D'où:
n ~ I
ll!a.11 lloo = 1(/2: n) ~ ( !jE ·r
a
- - n2+ n2
- 2 - a ( a )a/2 a-2
- - - - -
n
.
2
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2-a
* Si 0 ~ a < 1, alors a - 2 < -1 , donc, d'après l'exemple de Riemann, la série
de terme général 11 f a. 11 l loo converge, donc L f a, 11 converge normalement, donc
11 ~ 1
uniformément, sur [O; +oo[.
* Supposons 1 ~ a < 2.
Formons, pour n EN* et x E [O; +oo[, le reste R,,(x) d'ordre n de la série
L fa ,11(X):
n ~ I
na
1
l
l
En particulier: R,.(n) ~ n Sn 2 = Sna- I ~ S' donc : llR,, lloo ~ 5·
Il en résulte : R,, ~
1100
[O; +oo[.
0, et donc L fa, 11 ne converge pas uniformément sur
n~ I
On conclut : La série L fa,11 converge uniformément sur [O; +oo[ si et seu.lement
n ~ I
Conseils
Par contra position, à partir de : si L fa.11
n~ I
converge uniformément sur [0; +oo[, alors
ll/a,11 lloo ~O.
1100
On a calculé f~. 11 au début de la solution.
xa
fa ,n (X) = -i--+ 2
Xa -
2 ---+ 0,
x
n x-++oo
x-+ +oo
cara < 2.
Le calcu l de 11/a,n l loo en fonction den est
ici possible.
Dans ce cas, 1 1 / a.11 l loo ~ O. Pour étudier la
1100
convergence uniforme, on étudie le reste,
qui existe car, pour tout x E [O: +oo[, la
série numérique L f,, (x ) converge,
n~ I
.
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pu1squeO """ f,,(x) """ x 2 .
n
Les termes de la série sont tous :;::: 0, et on
minore une somme den termes par n fois
le plus petit.
On choisit de remplacer x par n.
Utilisation, par contraposition, de la
caractérisation de la convergence
uniforme d'une série d'applications,
en faisant intervenir le reste.
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si: 0 ~ a < 1 .
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Les méthodes à retenir
Convergences d'une série d'applications
• Pour étudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) une
série d'applications (ex. 5.3.1), suivre, en général, le plan d'étude p. 318.