-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
320
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Dans cet exemple, l'étude de
la convergence simple nécessite
une séparation en plusieurs cas
(x > 0, x = 0), ce qui est fréquent
en pratique.
Ëtude de convergence normale sur des
parties convenables de IR'.f-.
Puisqu'il n'y a pas convergence normale
mais que llf,,lloo --+ 0 , le plan
11 00
d'étude nous indique que,pourétudier
la convergence uniforme, il faut étudier
le reste R,,.
Rappel: ln(I + u) = u + O (u
2 ).
u--t O
3) Etude de L J,,, J,, : IR+ -+ R
11 ~ I
]
X t----+
1 '
n + n x• Convergence simple
*
,
1
1
Pour x E IR+ fixe,
3 2
~ 32 ~ 0
n + n X noo n x
et
1
L 3 converge, donc L f,, (x) converge.
n;;, 1 n
11 ;;, l
D'autre part, L fn (0) diverge.
11 ;;, l
Ainsi, L f 11 converge simplement sur ]O; +oo[.
11 ;;, I
On considère dorénavant, à la place de f,, , l'application !Ri -+ IR , encore notée f,, .
x t----+ !11 (x)
• Convergence normale
1
1
Pour n E N* fixé, f 11 est bornée et llf 11 lloo = Sup lf 11 (x)I =- .Comme L - diverge, on
xe )O: +oo[
n
n;;, 1 n
conclut : L !11 ne converge pas normalement sur ]O; +oo[.
n;;, 1
Pour a E]O; +oo[ fixé, ll f11 I
lloo = Sup lf11(x) I = f,,(a) et Lf,,(a) converge (cf.
[a:+oo[
x e [a ;+oo[
11;;, l
convergence simple), donc L f,, converge normalement sur [a; +oo[.
11 ;;, l
• Convergence uniforme
1
On a déjà vu : 11 f 11 l loo = - ----+ 0. Nous allons étudier la suite ( R,, )11 des restes.
n 1100
Pour tout (n ,x) de N* x ]O; +oo[, on a :
IR,,(x)I = 1 ~ fk(x) I = ~ 13 2 ~ t k+~3x2 ~ 2n+~n3x2
k= n+ I
k= n+ I k + k X
k= n+I
En particulier: Vn E N* , R,, (~) ~ _!_,Ceci montre llRnlloo ---+--+ 0, et donc"\"""' f 11 ne
n
10
noo
~
n;;, I
converge pas uniformément sur ]O; +oo[.
D'autre part, pour tout a > 0 fixé, L fn converge uniformément sur [a; +oo[, puisque L f,,
n;;, I
11;;, I
converge normalement sur [a; +oo[.
4) Etude de L .f,, , J,, :
,, >I
R+ -+ IR
X t----+ (- ])"ln(] +
X
)
n( l +x)
• Convergence simple
Soit x E IR+ fixé ; on obtient le développement asymptotique :
(-l)"x
( 1 )
f,,(x) = n(l + x ) + 11~ n2 ·
La série L (-~)" converge (cf. 4.3.5 Exemple) et la série L 0 (n
1
2
) converge absolument.
n;;, 1
11 ;;, l
Donc L J,, converge simplement sur IR+ .
n;;, 1