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Dans cet exemple, très simple, on étudie
directement la convergence normale.
Dans cet exemple, pour étudier la
convergence normale, on calcule, pour
tout n E N* fixé, l If,, 11 00 .À cet effet,
on étudie les variations def,,,pourn fixé.
Ëtude de convergence normale sur des
parties convenables de lR+ .
Cf.Proposition 2 p.316.
5.3 · Séries d'applications
7) Exemples d'étude de la convergence d'une série d'applications
1) Etude de L .f11 , .f11 : R ----7 R
sin nx
X r----+ - - -
tz !
]
"\""' 1
Pour tout n de N, .fn est bornée et 11 .fn l loo = - . Comme L,, - converge, on en déduit que
n!
0
n!
n;;.
L ln converge nom1alement sur lR , donc uniformément, absolument, simplement.
n;;.O
2) Etude de L f 11 ,
,, ~o
l n : R+ ----7 lR
'
x r----+ nx -e
• Convergence simple.
Pour x E JR+ fixé, L f n (x ) converge car n 2 ln (x) = n 3 x 2 e-x.fiï ---+ 0.
n ;;.O
noo
Et L .fn (0) converge à l'évidence. Donc L .fn converge simplement sur lR+.
n;;.O
n;;.O
• Convergence normale
Pour n E N* fixé, ln est de classe C 1 sur lR+ et :
Vx E lR+, l~(x) = nx(2 - x,./n)e-x.fiï.
X
0
f~(x)
0
fn(X)
+
2
Jn
0
Ainsi,fn est bornée et 11.fnlloo = f n (Jn) = e~·
+oo
Comme L 11ln11 00 diverge, L f n ne converge pas normalement sur lR+ .
n;;.O
n;;.O
2
Soit a E IR+ ; il existe N E N* tel que .jN < a , et on a alors :
Vn ;:?! N , llf,, I
lloo =
Sup ll n (x ) I = ln(a) .
[a:+oo[
xE[a:+oo[
Comme L l n (a) converge (cf. convergence simple), on en déduit que L ln converge norn;;.O
n;;.O
malement sur [a : + oo[.
• Convergence uniforme
4
Puisque (pour n ;:?! 1) 11 .fnl loo = 2 -+-7 0, Lfn ne converge pas uniformément sur lR+.
e
noo
n;;.O
Pour tout a de JR+, L f,, converge uniformément sur [a ; + oo[, puisque L ln converge norn;;.O
n;;.O
malement sur [a ; +oo[.
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