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Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Ainsi, on étudie usuellement dans
l'ordre: C.S., C.N., C.U.
l
Vn;?;: N, J,, E B(X; E)
Il existe N E N tel que :
L 11 fn l loo converge
n ~ N
On vient de voir que L fn converge simplement. Pour tout (n,x) de N x X tel que n ;?;: N, on a alors,
n;;,O
en notant Rn le reste d'ordre n :
Ceci montre : \ln E N,
Par définition du reste d'ordre n de la série numérique convergente L 11 fk l loo, on a :
k :;. N
+oo
L: 1 11k1 100 ~ o,
k=n+ I
noo
et donc llRn lloo ~O.
noo
D'après la Proposition l p. 316, on conclut que L fn converge uniformément.
n;;,O
4) On a déjà vu que, si L fn converge uniformément, alors L fn converge simplement (cf. Proposition l
n;;,O
n;;,O
p. 316).
•
6) Plan sommaire pour l'étude d'une série d'applications
Il s'agit d'étudier, sur un exemple donné, les convergences d'une série d'applications
L n;;,O
compléter:
I !,, converge-t-elle
n:;,.O
simplement ?
I !,, converge-t-elle
n:;,.O normalement ?
Remplacer X par
l'ensemble Y de convergence
simple de I, !,,
n:;,.O
I f. converge normalement,
n:;.O
11 donc uniformément,
absolument, simplement
Est-ce que
11.t,,ll~ ---70?
Il~
::::,-.,
0
Est-ce que
l IR/l l I~-;;:! 0?
·:;
0
L ! 11 converge uniformément,
n:;.O
donc simplement
I !,, ne
n:;.O
converge pas
uniformément
Dans le cas où il n'y pas convergence normale ou uniforme de L fn sur X, on indiquera des
n:;.O
parties de X sur lesquelles il y ait convergence normale ou uniforme.