0 Le mot de convergence « normale »
\;JJ vient de la considération de la norme
Il · lloo ·
,.,
Rappel de notation: B (X, E) désigne
\J.- l'ensemble des applications bornées de
X dans E.
-0
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
@
..._,
'
D o.
0
u
Définition de la convergence normale de
L f,, sur une partie de X.
Il
Bien noter que u 11 ne doit pas dépendre
dex.
Il est important de bien retenir ce schéma.
On a abrégé convergences normale,
absolue, uniforme, simple en C.N.,
C.A., C.V., C.S. respectivement.
Utilisation du théorème de majoration
pour les séries numériques à termes
réels;:;: O.
Pour les séries à termes dans un evn de
dimension finie, la convergence absolue
entraîne la convergence simple.
l
l
5.3 · Séries d'applications
4) Convergence normale
On dit que L ln converge normalement (sur X) si et seulement s'il existe N E N
tel que:
n ;;.O
{
'in EN, (n ;:;: N ~ln E B(X; E))
L lllnlloo converge.
n ;;.N
Remarque: On montre facilement que, si L ln et L g 11 convergent normalement sur X et
Il
Il
si À E IK est fixé, alors L (Àl 11 + gn) converge normalement sur X.
Il
Si Y est une partie de X, on dit que L ln converge normalement sur Y si et seulement si
Il
L ln 1 converge normalement (sur Y).
n
y
Il est clair que, si L ln converge normalement sur Y et si Z C Y, alors L ln converge nor"
Il
malement sur Z.
Remarque: Pour que L ln converge normalement sur X, il faut et il suffit qu'il existe N E N
11;;.0
et une suite (un)n ;;. N à termes dans IR+ tels que:
l
'Vn ;:;, N , \lx EX,
L Un converge.
n;;. N
111,,(x)ll ~ Un
5) Liens entre les divers modes de convergence
C.N.
Preuve
1) Supposons que L ln converge normalement. Il existe alors N E N tel que :
n;;.O
l
'Vn ;:;: N, ln E B(X ; E)
L llf,,l loo converge.
n;;.O
C.S.
Comme, pour tout x de X, llln(x) ll ~ lllnlloo, on déduit que, pour chaque x de X, L llln(x)ll
n;;.O
converge, donc L l 11 converge absolument, et ainsi L ln converge absolument.
n;;.N
n;;.O
2) Si L ln converge absolument, alors, pour tout x de X , L l lln (x)ll converge et donc L ln (x)
n;;.O
n;;.O
n;;.O
converge (cf. 4.3.2 Théorème ; E est complet puisque E est un IK-evn de dimension finie, cf. 1.4.2
Théorème 2).
3) Supposons que L 1 11 converge normalement.
n;;.O
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